\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(2,1,-1),(-3,-1,2)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(1,-3,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-1, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}
H=\operatorname{span}\{(2,1,-1),(-3,-1,2)\}
e
M=\operatorname{span}\{(1,-3,1)\},
e pede para encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tenha a forma \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}). A pergunta final é: qual o valor de x_{3}? O enunciado fornece explicitamente os geradores de H e de M, e a forma do vetor buscado.
Passo 2
Entendendo a condição \vec{x}\in M^{\perp}: um vetor \vec{x} pertence a M^{\perp} se e somente se ele for ortogonal a todo vetor gerador de M. Como M é o span de (1,-3,1), basta que \vec{x} seja ortogonal a (1,-3,1). A ortogonalidade é dada pelo produto escalar: dois vetores u=(u_{1},u_{2},u_{3}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3}) são ortogonais se \langle u,v\rangle = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}=0. Então a condição \vec{x}\in M^{\perp} equivale a
\langle \vec{x},(1,-3,1)\rangle = 0.
Passo 3
Entendendo a condição \vec{x}\in H: como H é span de (2,1,-1) e (-3,-1,2), qualquer vetor em H pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores. Ou seja, existem escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(2,1,-1)+b(-3,-1,2).
Isso nos dá as componentes de \vec{x} em termos de a e b.
Passo 4
Escrevendo as componentes de \vec{x} em termos de a e b: calculamos componente a componente
\vec{x} = (2a-3b,\; a-b,\; -a+2b).
Mas também sabemos que \vec{x} tem a forma (-1,x_{2},x_{3}). Igualando componente a componente obtemos as equações
2a-3b = -1, \tag{1}
a-b = x_{2}, \tag{2}
- a + 2b = x_{3}. \tag{3}
Passo 5
Aplicando a condição de ortogonalidade \langle \vec{x},(1,-3,1)\rangle = 0: usando \vec{x}=(-1,x_{2},x_{3}) temos
(-1)\cdot 1 + x_{2}\cdot(-3) + x_{3}\cdot 1 = 0,
ou seja
-1 - 3x_{2} + x_{3} = 0.
Isolando x_{3},
x_{3} = 1 + 3x_{2}. \tag{4}
Passo 6
Substituindo x_{2} e x_{3} em termos de a,b nas equações: pelas equações (2) e (3) temos x_{2}=a-b e x_{3}=-a+2b. Substituindo na igualdade (4) obtemos
- a + 2b = 1 + 3(a-b).
Desenvolvendo o lado direito:
- a + 2b = 1 + 3a - 3b.
Colocando todos os termos num lado:
- a + 2b - 3a + 3b = 1,
ou seja
-4a + 5b = 1. \tag{5}
Passo 7
Agora temos um sistema linear para a\) e \(b\) formado por (1) e (5):
\[\begin{cases} 2a - 3b = -1,\\[4pt] -4a + 5b = 1. \end{cases}
Resolvendo: multiplico a primeira equação por 2\] para facilitar:
\[4a - 6b = -2.\]
Somando essa equação com a segunda equação \(-4a+5b=1 obtemos
(4a-6b)+(-4a+5b)= -2+1 \implies -b = -1 \implies b = 1.
Com a=1 e b=1 encontramos x_{2} e x_{3} usando as fórmulas (2) e (3):
x_{2} = a - b = 1 - 1 = 0,
x_{3} = -a + 2b = -1 + 2\cdot 1 = 1.
Passo 9
Verificação rápida: o vetor obtido é \vec{x}=(-1,0,1). Ele pertence a H pois é 1\cdot(2,1,-1)+1\cdot(-3,-1,2). Ele é ortogonal a (1,-3,1) porque \langle(-1,0,1),(1,-3,1)\rangle = -1 +0 +1 = 0. Tudo consistente, e assim x_{3}=1.