Q8: Sejam
um conjunto LI e
um conjunto LD. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(B) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(C) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(E) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(F) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que
(D) Pode-se afirmar que não existe tal
(E) Pode-se afirmar que
(F) Pode-se afirmar que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a alternativa correta:
- Dado um conjunto
que é linearmente independente. - Dado um conjunto
que é linearmente dependente. - Existe uma matriz
de ordem tal que
- Precisamos decidir qual das alternativas (A) a (F) está correta sobre existência/unicidade de soluções da equação
.
Passo 2
Primeiro vou mostrar que existe (pelo menos) uma transformação linear
que faz essas imagens. Explico isso passo a passo.
- Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço. Como temos três vetores linearmente independentes em
, eles formam uma base de . Em símbolos: é uma base de . - Uma propriedade importante (que vou usar sem provar formalmente aqui) é: se você dá imagens arbitrárias para os vetores de uma base, existe uma única transformação linear
tal que para cada . Essa transformação pode ser representada por uma matriz no referencial padrão. - Conclusão deste passo: existe uma matriz
tal que para . Ou seja, a existência de uma tal é garantida.
(Dica intuitiva: pensar em montar as colunas da matriz em relação à base
; dar as imagens aos vetores de base define
de forma única.)
Passo 3
Agora vou usar o fato de que
é linearmente dependente para deduzir propriedades de
.
- Linearmente dependente significa que existem escalares
, não todos zero, tais que
- Substituindo
(das hipóteses), obtemos
- Defina
. Como os são linearmente independentes e nem todos os são zero, segue que . - Então temos
com . Isso mostra que tem núcleo (kernel) não trivial.
Passo 4
O que significa ter núcleo não trivial? E quais consequências para soluções de
?
- Definição: o núcleo de
é . Ter núcleo não trivial significa que existe com . - Uma transformação linear com núcleo não trivial não é injetora (porque duas entradas distintas podem ter a mesma imagem). Logo
não é injetora. - Em espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui domínio e contradomínio têm dimensão
), vale o fato: ser injetora é equivalente a ser sobrejetora. Portanto, se não é injetora, também não é sobrejetora. - Não ser sobrejetora significa que a imagem de
, , é um subconjunto próprio de . Logo existem vetores que não pertencem a e, para esses , a equação não tem solução.
Passo 5
Agora trato da unicidade das soluções quando elas existem.
- Se
tem núcleo não trivial, então existe com . - Suponha que para algum
exista uma solução tal que . Então para qualquer temos
- Como o núcleo contém vetores não nulos, podemos escolher
, e assim é uma solução diferente de . Portanto, quando existe solução, ela não é única — há infinitas soluções (a solução geral é ).
Passo 6
Resumo das conclusões que justificam a escolha da opção correta:
- Já provei que existe pelo menos uma matriz
com as propriedades exigidas (Passo 2). - Mostrei que
tem núcleo não trivial (Passo 3), logo não é injetora nem sobrejetora (Passo 4). - Consequência prática:
- Existem vetores
para os quais não tem solução (porque não é sobrejetora). - Para os
que estão na imagem de , as soluções existem mas não são únicas (porque o núcleo é não trivial).
- Existem vetores
- Agora compare com as alternativas:
- (A) “Não se pode afirmar se existe ou não tal
.” — Falsa: já podemos afirmar que existe tal . - (B) “Tem solução única para qualquer
.” — Falsa: não é invertível, não dá solução única para qualquer . - (C) “Tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.” — Falsa: não tem solução para todo . - (D) “Não existe tal
.” — Falsa: existe. - (E) “Não tem solução única, qualquer que seja
.” — Verdadeira: para qualquer , a equação não tem uma única solução; ou seja, ou não tem solução (quando ) ou tem múltiplas soluções (quando ). Em ambos os casos não há solução única. - (F) “Não tem solução para certos
, mas quando existe solução ela é única.” — Falsa: quando existe solução, ela não é única.
- (A) “Não se pode afirmar se existe ou não tal
- Portanto a alternativa correta é a (E).
Resposta
(E)