Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}
(A) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(F) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a alternativa correta:
  • Dado um conjunto \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é linearmente independente.
  • Dado um conjunto \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} que é linearmente dependente.
  • Existe uma matriz A de ordem 3\times3 tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
  • Precisamos decidir qual das alternativas (A) a (F) está correta sobre existência/unicidade de soluções da equação A\vec{x}=\vec{b}.

Passo 2

Primeiro vou mostrar que existe (pelo menos) uma transformação linear A que faz essas imagens. Explico isso passo a passo.
  • Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço. Como temos três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3}, eles formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Em símbolos: \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
  • Uma propriedade importante (que vou usar sem provar formalmente aqui) é: se você dá imagens arbitrárias para os vetores de uma base, existe uma única transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} tal que T(\vec{x}_{i})=\vec{b}_{i} para cada i. Essa transformação T pode ser representada por uma matriz A 3\times3 no referencial padrão.
  • Conclusão deste passo: existe uma matriz A tal que A\vec{x}_{i}=\vec{b}_{i} para i=1,2,3. Ou seja, a existência de uma tal A é garantida.
(Dica intuitiva: pensar em montar as colunas da matriz em relação à base \{\vec{x}_{i}\}; dar as imagens aos vetores de base define A de forma única.)

Passo 3

Agora vou usar o fato de que \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\} é linearmente dependente para deduzir propriedades de A.
  • Linearmente dependente significa que existem escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, não todos zero, tais que
\alpha_{1}\vec{b}_{1}+\alpha_{2}\vec{b}_{2}+\alpha_{3}\vec{b}_{3}=\vec{0}.
  • Substituindo \vec{b}_{i}=A\vec{x}_{i} (das hipóteses), obtemos
\alpha_{1}A\vec{x}_{1}+\alpha_{2}A\vec{x}_{2}+\alpha_{3}A\vec{x}_{3}=A\big(\alpha_{1}\vec{x}_{1}+\alpha_{2}\vec{x}_{2}+\alpha_{3}\vec{x}_{3}\big)=\vec{0}.
  • Defina \vec{v}=\alpha_{1}\vec{x}_{1}+\alpha_{2}\vec{x}_{2}+\alpha_{3}\vec{x}_{3}. Como os \vec{x}_{i} são linearmente independentes e nem todos os \alpha_{i} são zero, segue que \vec{v}\neq\vec{0}.
  • Então temos A\vec{v}=\vec{0} com \vec{v}\neq\vec{0}. Isso mostra que A tem núcleo (kernel) não trivial.

Passo 4

O que significa ter núcleo não trivial? E quais consequências para soluções de A\vec{x}=\vec{b}?
  • Definição: o núcleo de A é \ker(A)=\{\vec{u}\in\mathbb{R}^{3}\mid A\vec{u}=\vec{0}\}. Ter núcleo não trivial significa que existe \vec{u}\neq\vec{0} com A\vec{u}=\vec{0}.
  • Uma transformação linear com núcleo não trivial não é injetora (porque duas entradas distintas podem ter a mesma imagem). Logo A não é injetora.
  • Em espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui domínio e contradomínio têm dimensão 3), vale o fato: ser injetora é equivalente a ser sobrejetora. Portanto, se A não é injetora, A também não é sobrejetora.
  • Não ser sobrejetora significa que a imagem de A, \mathrm{Im}(A), é um subconjunto próprio de \mathbb{R}^{3}. Logo existem vetores \vec{b}\in\mathbb{R}^{3} que não pertencem a \mathrm{Im}(A) e, para esses \vec{b}, a equação A\vec{x}=\vec{b} não tem solução.

Passo 5

Agora trato da unicidade das soluções quando elas existem.
  • Se A tem núcleo não trivial, então existe \vec{w}\neq\vec{0} com A\vec{w}=\vec{0}.
  • Suponha que para algum \vec{b} exista uma solução \vec{x}_{0} tal que A\vec{x}_{0}=\vec{b}. Então para qualquer \vec{w}\in\ker(A) temos
A(\vec{x}_{0}+\vec{w})=A\vec{x}_{0}+A\vec{w}=\vec{b}+\vec{0}=\vec{b}.
  • Como o núcleo contém vetores não nulos, podemos escolher \vec{w}\neq\vec{0}, e assim \vec{x}_{0}+\vec{w} é uma solução diferente de \vec{x}_{0}. Portanto, quando existe solução, ela não é única — há infinitas soluções (a solução geral é \vec{x}_{0}+\ker(A)).

Passo 6

Resumo das conclusões que justificam a escolha da opção correta:
  • Já provei que existe pelo menos uma matriz A com as propriedades exigidas (Passo 2).
  • Mostrei que A tem núcleo não trivial (Passo 3), logo A não é injetora nem sobrejetora (Passo 4).
  • Consequência prática:
    • Existem vetores \vec{b} para os quais A\vec{x}=\vec{b} não tem solução (porque A não é sobrejetora).
    • Para os \vec{b} que estão na imagem de A, as soluções existem mas não são únicas (porque o núcleo é não trivial).
  • Agora compare com as alternativas:
    • (A) “Não se pode afirmar se existe ou não tal A.” — Falsa: já podemos afirmar que existe tal A.
    • (B) “Tem solução única para qualquer \vec{b}.” — Falsa: A não é invertível, não dá solução única para qualquer \vec{b}.
    • (C) “Tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.” — Falsa: não tem solução para todo \vec{b}.
    • (D) “Não existe tal A.” — Falsa: existe.
    • (E) “Não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.” — Verdadeira: para qualquer \vec{b}, a equação A\vec{x}=\vec{b} não tem uma única solução; ou seja, ou não tem solução (quando \vec{b}\notin\mathrm{Im}(A)) ou tem múltiplas soluções (quando \vec{b}\in\mathrm{Im}(A)). Em ambos os casos não há solução única.
    • (F) “Não tem solução para certos \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.” — Falsa: quando existe solução, ela não é única.
  • Portanto a alternativa correta é a (E).

Resposta

(E)

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