O que a questão pede: a dimensão da imagem de T.\n
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\begin{cases} \text{o domínio é } \mathbb{R}^4,\\[4pt] \text{o contradomínio é } \mathbb{R}^3,\\[4pt] \text{as componentes de }T\text{ são dadas explicitamente (acima).} \end{cases}]
Passo 2
Primeira coisa importante: a imagem de T (também chamada de \operatorname{Im}T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 formado por todas as combinações lineares das colunas da matriz que representa T. A dimensão da imagem é o posto (rank) dessa matriz, isto é, o número de colunas linearmente independentes (ou o número de pivôs numa redução por linhas). Vou representar T por sua matriz A na base canônica e calcular o posto de A por eliminação gaussiana.
Passo 3
Montamos a matriz A cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4. A partir das componentes dadas temos a matriz 3\times4
Cada linha corresponde a uma das três componentes de T e cada coluna corresponde ao coeficiente dos x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.]
Passo 4
Vamos aplicar operações elementares por linhas (válidas porque não mudam o espaço gerado pelas linhas nem o posto) para triangularizar A. Primeiro, some a primeira linha à segunda linha:
Depois dessas operações a matriz está em forma escalonada: há pivô na coluna 1 (primeira linha) e pivô na coluna 2 (segunda linha). Não há terceira linha não nula, logo temos exatamente dois pivôs. O posto (rank) de A é o número de pivôs, portanto
\operatorname{rank}(A)=2.
Passo 7
Interpretação final: a imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^3 de dimensão igual ao posto de A. Assim a dimensão da imagem de T é 2. (Intuitivamente, as colunas de A geram um plano em \mathbb{R}^3.)