Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-x_{4}\right., \left.-x_{1}+3 x_{2}-3 x_{3}-x_{4}, \quad x_{1}-x_{2}-x_{3}-3 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3
definida por
T(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\bigl(x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4},\; -x_{1}+3x_{2}-3x_{3}-x_{4},\; x_{1}-x_{2}-x_{3}-3x_{4}\bigr).
O que a questão pede: a dimensão da imagem de T.\n
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\begin{cases} \text{o domínio é } \mathbb{R}^4,\\[4pt] \text{o contradomínio é } \mathbb{R}^3,\\[4pt] \text{as componentes de }T\text{ são dadas explicitamente (acima).} \end{cases}íéíéã]

Passo 2

Primeira coisa importante: a imagem de T (também chamada de \operatorname{Im}T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 formado por todas as combinações lineares das colunas da matriz que representa T. A dimensão da imagem é o posto (rank) dessa matriz, isto é, o número de colunas linearmente independentes (ou o número de pivôs numa redução por linhas). Vou representar T por sua matriz A na base canônica e calcular o posto de A por eliminação gaussiana.

Passo 3

Montamos a matriz A cujas colunas são as imagens dos vetores canônicos de \mathbb{R}^4. A partir das componentes dadas temos a matriz 3\times4
A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 3 & -3 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
Cada linha corresponde a uma das três componentes de T e cada coluna corresponde ao coeficiente dos x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.]

Passo 4

Vamos aplicar operações elementares por linhas (válidas porque não mudam o espaço gerado pelas linhas nem o posto) para triangularizar A. Primeiro, some a primeira linha à segunda linha:
L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1}.
E subtraia a primeira linha da terceira linha:
L_{3}\leftarrow L_{3}-L_{1}.
Fazendo isso obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vemos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Subtraindo a segunda da terceira:
L_{3}\leftarrow L_{3}-L_{2},
obtemos uma linha zero:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Depois dessas operações a matriz está em forma escalonada: há pivô na coluna 1 (primeira linha) e pivô na coluna 2 (segunda linha). Não há terceira linha não nula, logo temos exatamente dois pivôs. O posto (rank) de A é o número de pivôs, portanto
\operatorname{rank}(A)=2.

Passo 7

Interpretação final: a imagem de T é um subespaço de \mathbb{R}^3 de dimensão igual ao posto de A. Assim a dimensão da imagem de T é 2. (Intuitivamente, as colunas de A geram um plano em \mathbb{R}^3.)

Resposta

(C) 2

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