Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformaçōes lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(B) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(V) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
  • Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60^\circ.
  • Uma reflexão T através do eixo y (ou seja, envia (x,y) em (-x,y)).
Pede-se: encontrar a matriz que representa a transformação composta R T (ou seja, aplicar T primeiro, depois R) entre as opções dadas.

Passo 2

Fórmula e explicação da matriz de rotação.
A matriz que representa uma rotação no plano por um ângulo \theta, no sentido anti-horário, é dada por
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Aqui cada coluna mostra a imagem dos vetores canônicos (1,0) e (0,1). Explicando devagar: \cos\theta e \sin\theta aparecem porque a rotação de (1,0) gera um vetor com coordenadas (\cos\theta,\sin\theta); similar para (0,1) com sinal trocado na primeira componente.
No nosso caso \theta=60^\circ=\pi/3. Sabemos que
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto a matriz de R é
R=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Fórmula e explicação da matriz de reflexão através do eixo y.
A reflexão pelo eixo y manda (x,y)\mapsto(-x,y). Isso significa que o vetor (1,0) vai para (-1,0) e (0,1) fica (0,1). A matriz que faz isso é diagonal com entradas -1 e 1:
T=\begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando: as colunas da matriz são as imagens dos vetores canônicos (1,0) e (0,1).]

Passo 4

Ordem da composição.
Quando escrevemos R T queremos a transformação que aplica T primeiro e depois R. Em termos de matrizes isso corresponde ao produto matricial R\cdot T. Atenção: a multiplicação de transformações é não comutativa, então a ordem importa.

Passo 5

Cálculo explícito de R T.
Vamos multiplicar as matrizes encontradas:
R=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad T=\begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Uma forma rápida: multiplicar por uma diagonal com -1,1 troca o sinal da primeira coluna de R e mantém a segunda. Fazendo o produto coluna a coluna:
Primeira coluna de R T = R vezes primeira coluna de T = R\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix} = -1\cdot primeira coluna de R. Então
\text{1ª coluna} = -\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\[4pt]\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\[4pt]-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.ª
Segunda coluna de R T = R vezes segunda coluna de T = R\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix} = segunda coluna de R. Então
\text{2ª coluna} = \begin{pmatrix}-\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\frac{1}{2}\end{pmatrix}.ª
Juntando as colunas obtemos
R T = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt] -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida e interpretação (checagem).
  • Podemos checar que cada coluna tem comprimento 1 (rot/ref preservam normas) e que a matriz é ortogonal com determinante -1 (produto de dets: \det R=1, \det T=-1, logo \det(RT)=-1), o que é coerente com o resultado (reflexão combinada com rotação). A matriz obtida coincide exatamente com a opção listada como (V) nas alternativas.

Resposta

(V)

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