Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(-1,-2,2) e T(3,2)=(-1,-1,3). Determine a matrix A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matrix A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
(V) -2

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(1,1)=(-1,-2,2)
T(3,2)=(-1,-1,3).
A pergunta é: qual é o valor da entrada a_{12} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}?
Listei então as informações relevantes: os dois vetores do domínio e suas imagens no contradomínio (cada uma com três componentes). Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Vou explicar uma ideia importante que usamos sempre em provas: se A representa T na base padrão, então as colunas de A são as imagens dos vetores da base padrão. Ou seja, se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32} \end{pmatrix},
então a primeira coluna é T(1,0) e a segunda coluna é T(0,1). Denotando
T(1,0)=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix},\qquad T(0,1)=\begin{pmatrix}d\e\f\end{pmatrix},
temos, por linearidade, para qualquer (x,y),
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)=x\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}d\e\f\end{pmatrix}.
O que queremos é a_{12}, isto é, a entrada da primeira linha e segunda coluna de A. Pela identificação acima, a_{12} é justamente a primeira componente de T(0,1), ou seja, é d.]

Passo 3

Agora traduzimos os dados do enunciado em equações para a,b,c,d,e,f.
Pela linearidade,
T(1,1)=T(1,0)+T(0,1)=\begin{pmatrix}a+d\\\ b+e\\\ c+f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema
\begin{cases} a+d=-1,\\[4pt] b+e=-2,\\[4pt] c+f=2. \end{cases}
Também
T(3,2)=3T(1,0)+2T(0,1)=\begin{pmatrix}3a+2d\\\\ 3b+2e\\\\ 3c+2f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix},
o que dá o sistema
\begin{cases} 3a+2d=-1,\\[4pt] 3b+2e=-1,\\[4pt] 3c+2f=3. \end{cases}
Temos assim seis equações lineares que vamos resolver componente a componente.]

Passo 4

Resolvo primeiro as equações para as primeiras componentes ( a,d\)): \[\begin{cases} a+d=-1,\\[4pt] 3a+2d=-1. \end{cases}
Da primeira, d=-1-a\]. Substituindo na segunda: \[3a+2(-1-a)=-1 \Rightarrow 3a-2-2a=-1 \Rightarrow a-2=-1 \Rightarrow a=1.\] Então \(d=-1-a=-1-1=-2.]

Passo 5

Agora as segundas componentes ( b,e\)): \[\begin{cases} b+e=-2,\\[4pt] 3b+2e=-1. \end{cases}
Da primeira, e=-2-b\]. Substituindo: \[3b+2(-2-b)=-1 \Rightarrow 3b-4-2b=-1 \Rightarrow b-4=-1 \Rightarrow b=3.\] Então \(e=-2-b=-2-3=-5.]

Passo 6

Finalmente as terceiras componentes ( c,f\)): \[\begin{cases} c+f=2,\\[4pt] 3c+2f=3. \end{cases}
Da primeira, f=2-c\]. Substituindo: \[3c+2(2-c)=3 \Rightarrow 3c+4-2c=3 \Rightarrow c+4=3 \Rightarrow c=-1.\] Então \(f=2-c=2-(-1)=3.]

Passo 7

Agora montamos a matriz A pelas colunas T(1,0) e T(0,1):
T(1,0)=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix},\qquad T(0,1)=\begin{pmatrix}d\e\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\\ -5\\\ 3\end{pmatrix}.
Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & -2\\[4pt] 3 & -5\\[4pt] -1 & 3 \end{pmatrix}.
Lembre que a_{12} é a entrada da primeira linha, segunda coluna; portanto a_{12}=-2. Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio completo para aplicar a qualquer problema parecido!]

Resposta

(V) -2

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