Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,1)=(-1,-2,2) e T(3,2)=(-1,-1,3). Determine a matrix A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matrix A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
(V) -2
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(1,1)=(-1,-2,2)
T(3,2)=(-1,-1,3).
A pergunta é: qual é o valor da entrada a_{12} da matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}?
Listei então as informações relevantes: os dois vetores do domínio e suas imagens no contradomínio (cada uma com três componentes). Não há mais dados ocultos.
Passo 2
Vou explicar uma ideia importante que usamos sempre em provas: se A representa T na base padrão, então as colunas de A são as imagens dos vetores da base padrão. Ou seja, se
O que queremos é a_{12}, isto é, a entrada da primeira linha e segunda coluna de A. Pela identificação acima, a_{12} é justamente a primeira componente de T(0,1), ou seja, é d.]
Passo 3
Agora traduzimos os dados do enunciado em equações para a,b,c,d,e,f.
Lembre que a_{12} é a entrada da primeira linha, segunda coluna; portanto a_{12}=-2. Força aí — você já tem a resposta e o raciocínio completo para aplicar a qualquer problema parecido!]