e as três coordenadas de saída são combinações lineares dos quatro x_i conforme escritas acima. Não há outras restrições dadas.
Passo 2
O que significa “dimensão da imagem”? Vou explicar devagarinho. A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que aparecem como T(x_1,x_2,x_3,x_4) para algum vetor em \mathbb{R}^4. A dimensão da imagem é o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem — ou seja, o número mínimo de vetores necessários para expressar qualquer vetor da imagem por combinação linear.
Uma forma prática de calcular essa dimensão é representar T pela matriz de coeficientes (colunas correspondendo a cada variável x_i) e encontrar o posto (rank) dessa matriz. O posto é justamente a quantidade de colunas linearmente independentes, e é igual à dimensão da imagem. Então o plano é: montar a matriz 3×4 de T e calcular o posto por eliminação de Gauss (redução por linhas).
Passo 3
A matriz A que representa T na base canônica tem como colunas os vetores de coeficientes das coordenadas em relação a x_1,x_2,x_3,x_4. Portanto
Vou calcular o posto de A por eliminação de Gauss. Lembrete rápido sobre operações elementares: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra — essas operações não mudam o posto da matriz. O objetivo é obter uma forma triangular superior com pivôs claros; o número de linhas não nulas finais (ou o número de pivôs) é o posto.
Passo 5
Começo eliminando abaixo do pivô da primeira coluna. Usei as operações R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Calculemos as novas linhas:
Olhe para essa matriz triangular superior: há pivôs não nulos nas colunas 1, 2 e 3 (as linhas 1, 2 e 3 são não nulas). Portanto o número de pivôs é 3. Isso significa que o posto de A é 3. Como a dimensão da imagem de T é exatamente o posto da matriz que representa T, concluímos que a dimensão da imagem é 3.
Pequena observação de sanity check: o contradomínio é \mathbb{R}^3, então a dimensão da imagem não pode passar de 3; encontramos 3, que é o máximo possível — a imagem é todo \mathbb{R}^3 (ou seja, T é sobrejetora).
Força aí — essa foi a parte cansativa das contas, mas encaixou direitinho: três pivôs, imagem de dimensão três.