Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-2 x_{3}-x_{4}\right., \left.2 x_{1}+5 x_{2}-6 x_{3}-x_{4}, \quad x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}-2 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-2x_{3}-x_{4},\;2x_{1}+5x_{2}-6x_{3}-x_{4},\;x_{1}+4x_{2}-3x_{3}-2x_{4}\right).
Pede-se a dimensão da imagem de T. Informação relevante fornecida:
\text{domínio: } \mathbb{R}^4,\qquad \text{contradomínio: } \mathbb{R}^3,íí
e as três coordenadas de saída são combinações lineares dos quatro x_i conforme escritas acima. Não há outras restrições dadas.

Passo 2

O que significa “dimensão da imagem”? Vou explicar devagarinho. A imagem de T é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^3 que aparecem como T(x_1,x_2,x_3,x_4) para algum vetor em \mathbb{R}^4. A dimensão da imagem é o número de vetores linearmente independentes que geram essa imagem — ou seja, o número mínimo de vetores necessários para expressar qualquer vetor da imagem por combinação linear.
Uma forma prática de calcular essa dimensão é representar T pela matriz de coeficientes (colunas correspondendo a cada variável x_i) e encontrar o posto (rank) dessa matriz. O posto é justamente a quantidade de colunas linearmente independentes, e é igual à dimensão da imagem. Então o plano é: montar a matriz 3×4 de T e calcular o posto por eliminação de Gauss (redução por linhas).

Passo 3

A matriz A que representa T na base canônica tem como colunas os vetores de coeficientes das coordenadas em relação a x_1,x_2,x_3,x_4. Portanto
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 2 & 5 & -6 & -1\\[4pt] 1 & 4 & -3 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vou calcular o posto de A por eliminação de Gauss. Lembrete rápido sobre operações elementares: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra — essas operações não mudam o posto da matriz. O objetivo é obter uma forma triangular superior com pivôs claros; o número de linhas não nulas finais (ou o número de pivôs) é o posto.

Passo 5

Começo eliminando abaixo do pivô da primeira coluna. Usei as operações R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Calculemos as novas linhas:
Para R_2:
(2,5,-6,-1)-2(1,1,-2,-1)=(2-2,\;5-2,\;-6+4,\;-1+2)=(0,3,-2,1).
Para R_3:
(1,4,-3,-2)-(1,1,-2,-1)=(0,3,-1,-1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora elimino o elemento abaixo do pivô da segunda linha: R_3\leftarrow R_3-R_2. Calculando:
(0,3,-1,-1)-(0,3,-2,1)=(0,0,1,-2).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 3 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Olhe para essa matriz triangular superior: há pivôs não nulos nas colunas 1, 2 e 3 (as linhas 1, 2 e 3 são não nulas). Portanto o número de pivôs é 3. Isso significa que o posto de A é 3. Como a dimensão da imagem de T é exatamente o posto da matriz que representa T, concluímos que a dimensão da imagem é 3.
Pequena observação de sanity check: o contradomínio é \mathbb{R}^3, então a dimensão da imagem não pode passar de 3; encontramos 3, que é o máximo possível — a imagem é todo \mathbb{R}^3 (ou seja, T é sobrejetora).
Força aí — essa foi a parte cansativa das contas, mas encaixou direitinho: três pivôs, imagem de dimensão três.

Resposta

3

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