Determine se u e v são linearmente dependentes onde:
u=t^{3}+3 t+4 e v=t^{3}+4 t+3

Passo 1

O enunciado dá duas funções polinomiais (funções de t):
u(t)=t^{3}+3t+4
v(t)=t^{3}+4t+3
A pergunta é: determinar se u e v são linearmente dependentes (no espaço dos polinômios com coeficientes reais). Ou seja, queremos saber se existe combinação linear não-trivial que anula essas funções simultaneamente.

Passo 2

Lembrete didático sobre o que significa linearmente dependente para dois vetores (aqui: duas funções/polinômios).
  • Dois vetores u e v são linearmente dependentes se e somente se existe um escalar c tal que
u = c\,v
ou, equivalentemente, se existem escalares \alpha,\beta, não ambos zero, tais que
\alpha\,u+\beta\,v=0\quad\text{(o polinômio nulo, identidade para todo \(t\)).}ô
Para um par de elementos essa verificação costuma ser simples porque dependência implica um ser múltiplo escalar do outro.

Passo 3

Teste direto de múltiplo escalar (método rápido e intuitivo). Suponha que exista c\in\mathbb{R} tal que
u=c\,v.
Compare coeficientes termo a termo. Pelo termo \,t^{3}\, temos
1=c\cdot 1\quad\Rightarrow\quad c=1.
Se c=1 então deveríamos ter u=v. Mas comparando o coeficiente de t vemos
\text{coeficiente de }t\text{ em }u \text{ é }3,\qquad\text{coeficiente de }t\text{ em }v \text{ é }4,éé
ou seja 3\neq4. Logo não existe c que satisfaça u=c\,v. Portanto NÃO são múltiplos escalares — isso já indica independência linear.

Passo 4

Agora faço a verificação completa pelo método da combinação linear (mais sistemático), para ser didático. Procuro \alpha,\beta tais que
\alpha\,u+\beta\,v=0\quad\text{(polinômio nulo).}ô
Substituindo u e v:
\alpha\,(t^{3}+3t+4)+\beta\,(t^{3}+4t+3)=0.
Agrupando termos iguais de potência de t obtemos o polinômio
(\alpha+\beta)\,t^{3} + (3\alpha+4\beta)\,t + (4\alpha+3\beta)=0.

Passo 5

Para que esse polinômio seja o polinômio nulo (igual a zero para todo t\)), todos os coeficientes devem ser zero. Assim obtemos o sistema linear em \(\alpha,\beta\): \[\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] 3\alpha+4\beta=0,\\[4pt] 4\alpha+3\beta=0. \end{cases}
Resolvo passo a passo. Da primeira equação vem
\alpha=-\beta.
Substituindo na segunda equação:
3(-\beta)+4\beta = (-3+4)\beta = \beta = 0.
Logo \beta=0\] e portanto \(\alpha=-\beta=0. Assim a única solução do sistema é a solução trivial \alpha=\beta=0.]

Passo 6

Conclusão lógica a partir do passo anterior: como a única combinação linear que anula u e v é a combinação trivial, os polinômios u e v são linearmente independentes. (Isto confirma também o resultado do teste rápido de múltiplo escalar.)

Resposta

u e v são linearmente independentes.

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