Determine se u e v são linearmente dependentes onde:
e
Passo 1
O enunciado dá duas funções polinomiais (funções de
):
A pergunta é: determinar se
e
são linearmente dependentes (no espaço dos polinômios com coeficientes reais). Ou seja, queremos saber se existe combinação linear não-trivial que anula essas funções simultaneamente.
Passo 2
Lembrete didático sobre o que significa linearmente dependente para dois vetores (aqui: duas funções/polinômios).
- Dois vetores
e são linearmente dependentes se e somente se existe um escalar tal que
ou, equivalentemente, se existem escalares
, não ambos zero, tais que
Para um par de elementos essa verificação costuma ser simples porque dependência implica um ser múltiplo escalar do outro.
Passo 3
Teste direto de múltiplo escalar (método rápido e intuitivo). Suponha que exista
tal que
Compare coeficientes termo a termo. Pelo termo
temos
Se
então deveríamos ter
. Mas comparando o coeficiente de
vemos
ou seja
. Logo não existe
que satisfaça
. Portanto NÃO são múltiplos escalares — isso já indica independência linear.
Passo 4
Agora faço a verificação completa pelo método da combinação linear (mais sistemático), para ser didático. Procuro
tais que
Substituindo
e
:
Agrupando termos iguais de potência de
obtemos o polinômio
Passo 5
Para que esse polinômio seja o polinômio nulo (igual a zero para todo
Resolvo passo a passo. Da primeira equação vem
Substituindo na segunda equação:
Logo
. Assim a única solução do sistema é a solução trivial
.]
Passo 6
Conclusão lógica a partir do passo anterior: como a única combinação linear que anula
e
é a combinação trivial, os polinômios
e
são linearmente independentes. (Isto confirma também o resultado do teste rápido de múltiplo escalar.)