Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 330 graus e uma reflexão T através do eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2 e pede a matriz que representa a composição R T. Informações dadas:
  • R é a rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 330^\circ.
  • T é a reflexão através do eixo x.
  • O que se pede: a matriz (na base canônica) que representa R T. Há várias alternativas (A)–(H).

Passo 2

Entender a reflexão T através do eixo x. A reflexão pelo eixo x envia um vetor (x,y) em (x,-y). Vamos ver como isso age sobre os vetores da base canônica:
  • T(1,0)=(1,0).
  • T(0,1)=(0,-1).
    A matriz que envia (x,y)\mapsto(x,-y) é, portanto,
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Explicação curta: as colunas da matriz de T são as imagens de e_1=(1,0) e e_2=(0,1) escritas como colunas.]

Passo 3

Agora a rotação R. A matriz da rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário é a conhecida
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Isso vem de aplicar a rotação aos vetores e_1 e e_2 e colocar as imagens como colunas.
No nosso caso \theta=330^\circ. Observações trigonométricas:
  • \cos 330^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • \sin 330^\circ=-\sin 30^\circ=-\dfrac{1}{2}.
    Substituindo em R(\theta),
R=R(330^\circ)=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\bigl(-\dfrac{1}{2}\bigr)\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Interpretação da composição R T. Por convenção de composição de funções, R T significa primeiro aplicar T e depois aplicar R. Em termos de matrizes (na mesma base), a matriz que representa R\circ T é o produto matricial
\text{mat}(R T)=R\cdot T.
Lembrete rápido sobre produto: a coluna j do produto R T é R aplicada à coluna j de T (ou seja, R vezes cada coluna de T).

Passo 5

Vamos calcular R\cdot T passo a passo. Escrevendo as matrizes:
R=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Usando que a coluna 1 de T é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} e a coluna 2 de T é \begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}, obtemos as colunas de R T como:
  • primeira coluna: R\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}= primeira coluna de R=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • segunda coluna: R\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}=-\,R\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=- segunda coluna de R=-\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
Portanto
R T = \begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
Também podemos checar entrada a entrada (produto padrão): por exemplo
(RT)_{11}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1 + \dfrac{1}{2}\cdot 0=\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad (RT)_{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 + \dfrac{1}{2}\cdot(-1)=-\dfrac{1}{2},
e assim por diante, dando o mesmo resultado.]

Passo 6

Compare a matriz calculada com as alternativas fornecidas. A matriz
\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}
corresponde exatamente à alternativa (C).]

Resposta

(C)

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