Q5: Calcule a matriz A, sabendo que:
  • a_{22}=10,
  • Núcleo A=\operatorname{span}\{(-2,-1,0),(1,0,1)\} e
  • Imagem A=\operatorname{span}\{(3,-1,2)\}.
A entrada a_{31} vale:
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10
(F) 11
(G) 12
(H) 13

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Foi dado que a_{22}=10.
  • O núcleo de A é \operatorname{Nuc}(A)=\operatorname{span}\{(-2,-1,0),(1,0,1)\}. Ou seja, os vetores (-2,-1,0) e (1,0,1) pertencem ao núcleo de A.
  • A imagem de A é \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{(3,-1,2)\}. Ou seja, a imagem é uma reta gerada por (3,-1,2).
  • A pergunta é: qual o valor de a_{31} (a entrada da terceira linha, primeira coluna)? Existem alternativas (A) a (H) e precisamos escolher a correta.

Passo 2

Interpretação estrutural importante (sem resolver ainda): como \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{(3,-1,2)\}, todas as colunas de A são múltiplos desse vetor, porque as colunas são exatamente as imagens dos vetores da base canônica. Vou escrever isso de forma explícita.
Defina c_1,c_2,c_3 como as colunas de A, isto é,
c_j = A e_j,\qquad j=1,2,3.
Como cada coluna pertence à imagem, existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
c_j=\alpha_j(3,-1,2),\qquad j=1,2,3.
Portanto podemos escrever a matriz A em função desses escalares:
A=\begin{pmatrix} 3\alpha_1 & 3\alpha_2 & 3\alpha_3\\[4pt] -\alpha_1 & -\alpha_2 & -\alpha_3\\[4pt] 2\alpha_1 & 2\alpha_2 & 2\alpha_3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Usar o dado a_{22}=10. A entrada a_{22} é o elemento da segunda linha e segunda coluna da matriz acima, que vale -\alpha_2. Assim
-\alpha_2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_2 = -10.
Logo a segunda coluna é
c_2 = \alpha_2(3,-1,2)= -10(3,-1,2)=(-30,10,-20).

Passo 4

Agora usar que os vetores dados pertencem ao núcleo: se v está no núcleo então A v=0. Para v_1=(-2,-1,0) temos
A v_1 = -2 c_1 -1\cdot c_2 + 0\cdot c_3 = 0,
ou seja
-2c_1 - c_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2c_1 + c_2 = 0.
Isso dá uma relação linear entre c_1 e c_2. Como já temos c_2, resolvemos para c_1:
2c_1 = -c_2 \quad\Longrightarrow\quad c_1 = -\tfrac{1}{2}c_2.
Substituindo c_2 = -10(3,-1,2),
c_1 = -\tfrac{1}{2}\big(-10(3,-1,2)\big)=5(3,-1,2)=(15,-5,10).

Passo 5

Usar o segundo vetor do núcleo v_2=(1,0,1). Temos
A v_2 = 1\cdot c_1 + 0\cdot c_2 + 1\cdot c_3 = 0,
portanto
c_1 + c_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_3 = -c_1.
Como c_1=(15,-5,10), obtemos
c_3 = (-15,5,-10).

Passo 6

A entrada pedida é a_{31}, isto é, a terceira linha e primeira coluna da matriz A. Isso é exatamente a terceira componente da coluna c_1. Como c_1=(15,-5,10), segue que
a_{31}=10.

Resposta

(E) 10

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