Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Foi dado que a_{22}=10.
O núcleo de A é \operatorname{Nuc}(A)=\operatorname{span}\{(-2,-1,0),(1,0,1)\}. Ou seja, os vetores (-2,-1,0) e (1,0,1) pertencem ao núcleo de A.
A imagem de A é \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{(3,-1,2)\}. Ou seja, a imagem é uma reta gerada por (3,-1,2).
A pergunta é: qual o valor de a_{31} (a entrada da terceira linha, primeira coluna)? Existem alternativas (A) a (H) e precisamos escolher a correta.
Passo 2
Interpretação estrutural importante (sem resolver ainda): como \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{(3,-1,2)\}, todas as colunas de A são múltiplos desse vetor, porque as colunas são exatamente as imagens dos vetores da base canônica. Vou escrever isso de forma explícita.
Defina c_1,c_2,c_3 como as colunas de A, isto é,
c_j = A e_j,\qquad j=1,2,3.
Como cada coluna pertence à imagem, existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 tais que
c_j=\alpha_j(3,-1,2),\qquad j=1,2,3.
Portanto podemos escrever a matriz A em função desses escalares:
A entrada pedida é a_{31}, isto é, a terceira linha e primeira coluna da matriz A. Isso é exatamente a terceira componente da coluna c_1. Como c_1=(15,-5,10), segue que