Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores e pergunta qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
). Os dados são:
A pergunta concreta: qual das alternativas (A) a (H) é uma base de
?
Passo 2
Primeiro verifiquemos se os três vetores dados são linearmente independentes ou não (isso nos diz a dimensão de
e, por consequência, a dimensão de
). Tentamos escrever
como combinação linear de
e
. Procuremos
tais que
Comparando componentes:
- primeira componente:
. - terceira componente:
.
Verificando a quarta componente:. Portanto
ou seja,
é combinação linear de
. Logo
geram
e
.
Passo 3
Em
vale a relação de dimensões
Como
, segue
. Assim
é um subespaço de dimensão 2: qualquer base de
deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes que sejam ortogonais a
e a
.
Passo 4
Vamos determinar explicitamente todos os vetores
. A condição
equivale a
Escrevendo as equalidades:
Da primeira obtemos
. Da segunda obtemos
. Igualando,
. A coordenada
não aparece nas equações, portanto é livre.
Passo 5
Parametrizando com parâmetros
:
Logo o vetor geral de
é
Portanto um par de vetores que forma uma base natural de
é
Eles são linearmente independentes e geram todo
, como exigido.
Passo 6
Agora verificamos qual alternativa entre as dadas é uma base válida. Como
, descartamos imediatamente alternativas com apenas um vetor
. Restam as alternativas com dois vetores: (B), (C), (D), (F). Vamos testar cada vetor quanto à ortogonalidade a
e
.
-
Alternativa (B):
. Calcule . Já falha; (B) não é válida. -
Alternativa (C): contém o mesmo vetor
como primeiro elemento, logo também falha. -
Alternativa (D): contém
. Calcule . Portanto (D) falha. -
Alternativa (F): os vetores são
e .
Verifiquemos ortogonalidade:
Ambos estão em
.
Agora checamos se
são linearmente independentes. Podemos escrever ambos em termos de
:
A matriz de coeficientes relativa a
é
cujo determinante é
. Logo
e
são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em um subespaço de dimensão 2, eles formam uma base de
.]
Passo 7
Concluímos que a alternativa correta é a (F):
é uma base de
. Parabéns — você agora sabe montar o sistema orthogonal, parametrizar as soluções e verificar candidatas: técnicas que caem muito na prova!
Resposta
F