Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,0,3,-1),(-3,0,0,1),(-9,0,-9,6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(2,4,-3,2)\}
(B) \{(-3,2,4,-3),(2,4,-3,2)\}
(C) \{(-3,2,4,-3),(2,-4,2,6)\}
(D) \{(1,2,1,3),(2,4,-3,2)\}
(E) \{(1,2,1,3)\}
(F) \{(1,2,1,3),(2,-4,2,6)\}
(G) \{(2,-4,2,6)\}
(H) \{(-3,2,4,-3)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores e pergunta qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H). Os dados são:
v_1=(0,0,3,-1),\qquad v_2=(-3,0,0,1),\qquad v_3=(-9,0,-9,6).
A pergunta concreta: qual das alternativas (A) a (H) é uma base de H^{\perp}?

Passo 2

Primeiro verifiquemos se os três vetores dados são linearmente independentes ou não (isso nos diz a dimensão de H e, por consequência, a dimensão de H^{\perp}). Tentamos escrever v_3 como combinação linear de v_1 e v_2. Procuremos a,b tais que
v_3 = a v_1 + b v_2.
Comparando componentes:
  • primeira componente: -9 = a\cdot 0 + b\cdot(-3)\Rightarrow b=3.
  • terceira componente: -9 = a\cdot 3 + b\cdot 0\Rightarrow a=-3.
    Verificando a quarta componente: 6 = a(-1) + b(1) = (-3)(-1)+3(1)=3+3=6. Portanto
v_3 = -3v_1 + 3v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1,v_2. Logo \{v_1,v_2\} geram H e \dim H = 2.

Passo 3

Em \mathbb{R}^4 vale a relação de dimensões
\dim H + \dim H^{\perp} = 4.
Como \dim H=2, segue \dim H^{\perp}=2. Assim H^{\perp} é um subespaço de dimensão 2: qualquer base de H^{\perp} deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes que sejam ortogonais a v_1 e a v_2.

Passo 4

Vamos determinar explicitamente todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in H^{\perp}. A condição x\in H^{\perp} equivale a
v_1\cdot x = 0,\qquad v_2\cdot x = 0.
Escrevendo as equalidades:
v_1\cdot x = 3x_3 - x_4 = 0,
v_2\cdot x = -3x_1 + x_4 = 0.
Da primeira obtemos x_4 = 3x_3. Da segunda obtemos x_4 = 3x_1. Igualando, 3x_3 = 3x_1\Rightarrow x_3 = x_1. A coordenada x_2 não aparece nas equações, portanto é livre.

Passo 5

Parametrizando com parâmetros t,x_2=s:
x_1=t,\quad x_2=s,\quad x_3=t,\quad x_4=3t.
Logo o vetor geral de H^{\perp} é
x = (t,s,t,3t) = t(1,0,1,3) + s(0,1,0,0).
Portanto um par de vetores que forma uma base natural de H^{\perp} é
b_1=(1,0,1,3),\qquad b_2=(0,1,0,0).
Eles são linearmente independentes e geram todo H^{\perp}, como exigido.

Passo 6

Agora verificamos qual alternativa entre as dadas é uma base válida. Como \dim H^{\perp}=2, descartamos imediatamente alternativas com apenas um vetor (\text{A},\text{E},\text{G},\text{H}). Restam as alternativas com dois vetores: (B), (C), (D), (F). Vamos testar cada vetor quanto à ortogonalidade a v_1 e v_2.
  • Alternativa (B): (-3,2,4,-3). Calcule v_1\cdot(-3,2,4,-3)=3\cdot 4 -1\cdot(-3)=12+3=15\neq 0. Já falha; (B) não é válida.
  • Alternativa (C): contém o mesmo vetor (-3,2,4,-3) como primeiro elemento, logo também falha.
  • Alternativa (D): contém (2,4,-3,2). Calcule v_1\cdot(2,4,-3,2)=3\cdot(-3)-1\cdot 2=-9-2=-11\neq0. Portanto (D) falha.
  • Alternativa (F): os vetores são w_1=(1,2,1,3) e w_2=(2,-4,2,6).
    Verifiquemos ortogonalidade:
    v_1\cdot w_1 = 3\cdot 1 -1\cdot 3 = 3-3=0,\qquad v_2\cdot w_1 = -3\cdot 1 +1\cdot 3 = -3+3=0.
v_1\cdot w_2 = 3\cdot 2 -1\cdot 6 = 6-6=0,\qquad v_2\cdot w_2 = -3\cdot 2 +1\cdot 6 = -6+6=0.
Ambos estão em H^{\perp}.
Agora checamos se w_1,w_2 são linearmente independentes. Podemos escrever ambos em termos de b_1,b_2:
w_1 = b_1 + 2b_2,\qquad w_2 = 2b_1 -4b_2.
A matriz de coeficientes relativa a (b_1,b_2) é
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & -4\end{pmatrix},
cujo determinante é 1\cdot(-4)-2\cdot 2 = -8\neq 0. Logo w_1 e w_2 são linearmente independentes. Como são dois vetores independentes em um subespaço de dimensão 2, eles formam uma base de H^{\perp}.]

Passo 7

Concluímos que a alternativa correta é a (F): \{(1,2,1,3),(2,-4,2,6)\} é uma base de H^{\perp}. Parabéns — você agora sabe montar o sistema orthogonal, parametrizar as soluções e verificar candidatas: técnicas que caem muito na prova!

Resposta

F

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