Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}\right., \left.2 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+6 x_{4}, \quad x_{1}-x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4},\;2x_{1}+x_{2}-4x_{3}+6x_{4},\;x_{1}-x_{2}-3x_{3}+4x_{4}\bigr).
A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T?\n
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • A regra que transforma (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) em um vetor em \mathbb{R}^{3}, ou seja, os coeficientes de cada saída.
  • As alternativas (A) a (E) com possíveis dimensões.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): a dimensão da imagem de uma transformação linear é o número de vetores linearmente independentes que geram a imagem — isto é, o posto (rank) da matriz que representa T nas bases canônicas. Para encontrar esse posto fazemos redução por linhas na matriz cuja i-ésima linha contém os coeficientes da i-ésima componente de T.
  • Se uma matriz tem r linhas (ou colunas) linearmente independentes, então \dim(\operatorname{Im} T)=r.
  • Na prática, contamos o número de pivôs (linhas não nulas) na forma escalonada por linhas da matriz.

Passo 3

Escrevemos a matriz A de T na base canônica (linhas são as componentes de T):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -4 & 6\\[4pt] 1 & -1 & -3 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Começamos a eliminação gaussiana para encontrar o posto. Primeiro usamos R_{1} para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (coluna 1).
  • Faça R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
  • Faça R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{1}.
Calculemos cada operação explicitamente:
  • R_{2}-2R_{1} = (2,1,-4,6) - 2(1,2,-1,2) = (2-2,\;1-4,\;-4+2,\;6-4) = (0,-3,-2,2).
  • R_{3}-R_{1} = (1,-1,-3,4) - (1,2,-1,2) = (0,-3,-2,2).
Assim obtemos a matriz:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -3 & -2 & 2\\[4pt] 0 & -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vemos que R_{2} e R_{3} são idênticas. Podemos zerar R_{3} subtraindo R_{2}:
  • Faça R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}.
Isso dá:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -3 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Na forma escalonada que encontramos há exatamente duas linhas não nulas (a primeira e a segunda). Cada linha não nula corresponde a um pivô (posição de liderança). Portanto o posto da matriz é 2.
Explicando com calma: posto = número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Aqui temos duas linhas independentes, a terceira é combinação linear das anteriores (de fato igual à segunda antes de zerar), então não aumenta o posto.

Passo 7

Concluímos que \dim(\operatorname{Im} T)= posto (A)=2. Agora só verificar a alternativa correta entre as dadas.

Resposta

(C) 2

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