A pergunta é: qual é a dimensão da imagem de T?\n
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
A regra que transforma (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) em um vetor em \mathbb{R}^{3}, ou seja, os coeficientes de cada saída.
As alternativas (A) a (E) com possíveis dimensões.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): a dimensão da imagem de uma transformação linear é o número de vetores linearmente independentes que geram a imagem — isto é, o posto (rank) da matriz que representa T nas bases canônicas. Para encontrar esse posto fazemos redução por linhas na matriz cuja i-ésima linha contém os coeficientes da i-ésima componente de T.
Se uma matriz tem r linhas (ou colunas) linearmente independentes, então \dim(\operatorname{Im} T)=r.
Na prática, contamos o número de pivôs (linhas não nulas) na forma escalonada por linhas da matriz.
Passo 3
Escrevemos a matriz A de T na base canônica (linhas são as componentes de T):
Na forma escalonada que encontramos há exatamente duas linhas não nulas (a primeira e a segunda). Cada linha não nula corresponde a um pivô (posição de liderança). Portanto o posto da matriz é 2.
Explicando com calma: posto = número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Aqui temos duas linhas independentes, a terceira é combinação linear das anteriores (de fato igual à segunda antes de zerar), então não aumenta o posto.
Passo 7
Concluímos que \dim(\operatorname{Im} T)= posto(A)=2. Agora só verificar a alternativa correta entre as dadas.