Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (5,2,3,-1) e (-3,-2,0,-5) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4 e pede em qual intervalo o ângulo \theta entre eles se encontra. Os dados são (peguei isto do enunciado):
  • Vetor \displaystyle u=(5,2,3,-1).
  • Vetor \displaystyle v=(-3,-2,0,-5).
O que é pedido: identificar qual intervalo de \theta (entre 0 e \pi) corresponde ao ângulo entre esses vetores, escolhendo a alternativa correta.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (dot product). Para \displaystyle a=(a_1,\dots,a_n) e \displaystyle b=(b_1,\dots,b_n) em \mathbb{R}^n vale
a\cdot b=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i.
Aplicando aos vetores dados (usei as componentes dos vetores fornecidos):
u\cdot v = 5\cdot(-3) + 2\cdot(-2) + 3\cdot 0 + (-1)\cdot(-5).
Agora calculo cada termo:
5\cdot(-3)=-15,\quad 2\cdot(-2)=-4,\quad 3\cdot 0=0,\quad (-1)\cdot(-5)=5.
Somando,
u\cdot v = -15-4+0+5 = -14.

Passo 3

Norma (módulo) de um vetor e cálculo. A norma de a é \|a\|=\sqrt{a\cdot a}. Logo:
\|u\|=\sqrt{5^2+2^2+3^2+(-1)^2}=\sqrt{25+4+9+1}=\sqrt{39}.
\|v\|=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+0^2+(-5)^2}=\sqrt{9+4+0+25}=\sqrt{38}.

Passo 4

Fórmula do cosseno do ângulo entre vetores. Para u e v vale
\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Substituindo os valores que calculei:
\cos\theta=\frac{-14}{\sqrt{39}\,\sqrt{38}}=\frac{-14}{\sqrt{1482}}.

Passo 5

Interpretação do sinal do produto escalar. Como u\cdot v=-14<0, segue que \cos\theta<0. Isso implica que o ângulo \theta é obtuso, isto é
\frac{\pi}{2}<\theta<\pi.

Passo 6

Aproximação numérica para localizar \theta nas opções. Primeiro, uma aproximação de \sqrt{1482}. Observando que 38{,}5^2=1482{,}25, temos \sqrt{1482}\approx 38{,}495. Então
\cos\theta \approx \frac{-14}{38{,}495}\approx -0{,}3636.
Agora \theta=\operatorname{arccos}(-0{,}3636). Aproximando (usar noção de arccos ou calculadora de bolso): isso dá aproximadamente
\theta\approx 1{,}94\\ \text{rad}\quad(\text{aprox. }111{,}3^\circ).

Passo 7

Comparação com os limites das alternativas. Os limites relevantes são
\frac{\pi}{2}\approx 1{,}571\\ \text{rad}, \qquad \frac{2\pi}{3}\approx 2{,}094\\ \text{rad}.
Como 1{,}571<1{,}94<2{,}094, concluímos que
\frac{\pi}{2}<\theta\leqslant\frac{2\pi}{3}.

Resposta

(E)

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