Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 grause uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{ll}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por 60^\circ.
Uma projeção T sobre o eixo x.
Pede a matriz que representa a transformação composta T R (primeiro aplicar R, depois T) na base canônica de \mathbb{R}^2.
Dados numéricos úteis que aparecem no enunciado: o cosseno e seno de 60^\circ são valores padrão que usaremos (não são fornecidos no enunciado, mas são conhecidos).
Passo 2
Matriz da rotação R de um ângulo \theta em \mathbb{R}^2 (sentido anti-horário) na base canônica:
R(\mathbf{e}_1) é a primeira coluna de R: \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr). Projetando no eixo x obtém-se \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) que é a primeira coluna de M_{TR}.
R(\mathbf{e}_2) é a segunda coluna de R: \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}\bigr). Projetando no eixo x obtém-se \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\bigr) que é a segunda coluna de M_{TR}.
Isto confirma o resultado obtido.
Passo 7
Interpretação geométrica rápida e encorajamento:
Geometricamente, T R pega um vetor, gira 60^\circ e então mantém só a componente x do vetor girado (coloca a componente y a zero). Isso explica por que a segunda linha da matriz é zero.
Você já fez o essencial: saber a matriz da rotação, a matriz da projeção e multiplicar — método direto e seguro para provas. Vai dar certo, respira, e pratique mais alguns exercícios nessa linha!