Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 grause uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & 0 \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{ll}0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá duas transformações lineares em \mathbb{R}^2:
    • Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por 60^\circ.
    • Uma projeção T sobre o eixo x.
  • Pede a matriz que representa a transformação composta T R (primeiro aplicar R, depois T) na base canônica de \mathbb{R}^2.
  • Dados numéricos úteis que aparecem no enunciado: o cosseno e seno de 60^\circ são valores padrão que usaremos (não são fornecidos no enunciado, mas são conhecidos).

Passo 2

Matriz da rotação R de um ângulo \theta em \mathbb{R}^2 (sentido anti-horário) na base canônica:
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aqui \theta=60^\circ=\pi/3. Sabendo \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
R= \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Explicação curta: cada coluna dessa matriz é a imagem dos vetores da base canônica \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1) pela rotação.]

Passo 3

Matriz da projeção T sobre o eixo x. A projeção sobre o eixo x envia (x,y)\mapsto (x,0). Na base canônica, isso tem matriz
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Explicação: a primeira coluna é T(\mathbf{e}_1)= (1,0) e a segunda coluna é T(\mathbf{e}_2)=(0,0).]

Passo 4

Ordem da composição e regra de matrizes:
  • A transformação composta T R aplica primeiro R e depois T.
  • Para colunas (vetores coluna) a matriz da composição é o produto das matrizes na mesma ordem: \,M_{T R}=M_T M_R.
    Vou então calcular M_T M_R.

Passo 5

Cálculo da multiplicação T R:
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Multiplicando linha por coluna:
  • Entrada (1,1): 1\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Entrada (1,2): 1\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)+0\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Entradas da segunda linha: 0\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=0 e 0\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)+0\cdot\tfrac{1}{2}=0.
Portanto
M_{T R}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação alternativa (action on basis):
  • R(\mathbf{e}_1) é a primeira coluna de R: \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr). Projetando no eixo x obtém-se \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) que é a primeira coluna de M_{TR}.
  • R(\mathbf{e}_2) é a segunda coluna de R: \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2}\bigr). Projetando no eixo x obtém-se \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},0\bigr) que é a segunda coluna de M_{TR}.
    Isto confirma o resultado obtido.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida e encorajamento:
  • Geometricamente, T R pega um vetor, gira 60^\circ e então mantém só a componente x do vetor girado (coloca a componente y a zero). Isso explica por que a segunda linha da matriz é zero.
  • Você já fez o essencial: saber a matriz da rotação, a matriz da projeção e multiplicar — método direto e seguro para provas. Vai dar certo, respira, e pratique mais alguns exercícios nessa linha!

Resposta

(E)

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