O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4 e pede em qual intervalo dentre as alternativas o ângulo \theta entre eles se encontra. Vetores dados:
u=(4,5,-1,3),\qquad v=(2,1,-5,-3).
A pergunta é: qual alternativa (A)–(H) contém \theta?
Passo 2
Fórmula que vou usar (explicando o que é cada coisa).
A definição do produto escalar (produto interno) entre dois vetores u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n) é
u\cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
O comprimento (norma) de um vetor u é
\|u\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}.
A relação entre produto escalar e o ângulo \theta entre u e v é a fórmula
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Interpretação rápida: o numerador mede quanto os vetores “apontam na mesma direção” e o denominador normaliza pelo tamanho; se \cos\theta é próximo de 1 os vetores são quase paralelos, se é 0 são ortogonais, se é negativo apontam em direções opostas.
Passo 3
Calcular o produto escalar u\cdot v passo a passo:
A função \cos é estritamente decrescente no intervalo [0,\pi], portanto inverter as desigualdades dá
\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}.
Observando as alternativas, a que corresponde a \pi/3<\theta\leqslant\pi/2 é a (D). Nosso \cos\theta não é exatamente 0 nem 1/2, então a desigualdade é estrita em ambas as pontas; a alternativa (D) permite \theta até \pi/2 (incluso) e começa estritamente maior que \pi/3, portanto (D) é compatível.