Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (4,5,-1,3) e (2,1,-5,-3) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4 e pede em qual intervalo dentre as alternativas o ângulo \theta entre eles se encontra. Vetores dados:
u=(4,5,-1,3),\qquad v=(2,1,-5,-3).
A pergunta é: qual alternativa (A)–(H) contém \theta?

Passo 2

Fórmula que vou usar (explicando o que é cada coisa).
A definição do produto escalar (produto interno) entre dois vetores u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n) é
u\cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
O comprimento (norma) de um vetor u é
\|u\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}.
A relação entre produto escalar e o ângulo \theta entre u e v é a fórmula
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Interpretação rápida: o numerador mede quanto os vetores “apontam na mesma direção” e o denominador normaliza pelo tamanho; se \cos\theta é próximo de 1 os vetores são quase paralelos, se é 0 são ortogonais, se é negativo apontam em direções opostas.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v passo a passo:
u\cdot v = 4\cdot 2 + 5\cdot 1 + (-1)\cdot(-5) + 3\cdot(-3).
Fazendo as contas uma a uma:
4\cdot2=8,\quad 5\cdot1=5,\quad (-1)\cdot(-5)=5,\quad 3\cdot(-3)=-9,
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u\cdot v = 8+5+5-9 = 9.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\|.
Para u:
\|u\|^2 = 4^2 + 5^2 + (-1)^2 + 3^2 = 16 + 25 + 1 + 9 = 51,
portanto
\|u\| = \sqrt{51}.
Para v:
\|v\|^2 = 2^2 + 1^2 + (-5)^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 25 + 9 = 39,
portanto
\|v\| = \sqrt{39}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{9}{\sqrt{51}\,\sqrt{39}} = \frac{9}{\sqrt{1989}}.
Fatorando 1989=9\cdot221 obtemos
\cos\theta = \frac{9}{\sqrt{9\cdot221}} = \frac{9}{3\sqrt{221}} = \frac{3}{\sqrt{221}}.

Passo 6

Vou comparar \cos\theta=\dfrac{3}{\sqrt{221}} com os cossenos dos limites das alternativas para decidir o intervalo. Valores conhecidos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}=0{,}5, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
A raiz \sqrt{221} está entre 14 e 15 (pois 14^2=196 e 15^2=225), e numericamente
\frac{3}{\sqrt{221}}\approx 0{,}202\quad(\text{aprox. }0{,}2018).
Como 0<0{,}202<0{,}5, temos
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 < \cos\theta < \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}.
A função \cos é estritamente decrescente no intervalo [0,\pi], portanto inverter as desigualdades dá
\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}.
Observando as alternativas, a que corresponde a \pi/3<\theta\leqslant\pi/2 é a (D). Nosso \cos\theta não é exatamente 0 nem 1/2, então a desigualdade é estrita em ambas as pontas; a alternativa (D) permite \theta até \pi/2 (incluso) e começa estritamente maior que \pi/3, portanto (D) é compatível.

Passo 7

Se quiser um valor aproximado do ângulo:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{\sqrt{221}}\right)\approx 78^\circ\\ (\approx 1{,}36\\ \text{rad}),
o que confirma que \theta está entre \pi/3 e \pi/2.

Resposta

(D)

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