Considere T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow P_{1} a transformação linear tal que
T(2,2)=1-x \quad \text { e } \quad T(2,-2)=1+3 x

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to P_1 (polinômios de grau ≤ 1) e fornece as imagens de dois vetores:
T(2,2)=1-x \quad\text{e}\quad T(2,-2)=1+3x.
O que vamos buscar (objetivos claros):
  • Achar uma fórmula explícita para T(u,v) para um vetor arbitrário (u,v)\in\mathbb{R}^2.
  • A partir daí, obter T(1,0) e T(0,1) e a representação matricial de T na base canônica de \mathbb{R}^2 e na base \{1,x\} de P_1.

Passo 2

Observação importante: os vetores dados
v_1=(2,2),\qquad v_2=(2,-2)
são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro). Uma verificação rápida é calcular o determinante da matriz formada por v_1,v_2:
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}=2\cdot(-2)-2\cdot2=-8\neq0,
logo v_1 e v_2 formam uma base de \mathbb{R}^2. Isso significa que qualquer (u,v)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito de forma única como combinação linear de v_1 e v_2:
(u,v)=\alpha v_1+\beta v_2.]

Passo 3

Vamos expressar (u,v) em função de \alpha e \beta. Escrevendo as coordenadas:
(u,v)=\alpha(2,2)+\beta(2,-2)= (2\alpha+2\beta,\;2\alpha-2\beta).
Comparando coordenadas obtemos o sistema
2\alpha+2\beta = u,\qquad 2\alpha-2\beta = v.
Somando as duas equações:
4\alpha = u+v \quad\Rightarrow\quad \alpha=\dfrac{u+v}{4}.
Subtraindo a segunda da primeira (ou somando com sinal trocado):
4\beta = u-v \quad\Rightarrow\quad \beta=\dfrac{u-v}{4}.

Passo 4

Agora usamos linearidade de T: para o vetor (u,v)=\alpha v_1+\beta v_2 vale
T(u,v)=\alpha T(v_1)+\beta T(v_2).
Substituindo T(v_1)=1-x e T(v_2)=1+3x e os valores de \alpha,\beta:
T(u,v)=\dfrac{u+v}{4}(1-x)+\dfrac{u-v}{4}(1+3x).

Passo 5

Agora desenvolvemos e simplificamos para obter a fórmula explícita (usar x como a variável do polinômio):
Primeiro o termo constante (coeficiente de 1):
\frac{u+v}{4}\cdot 1 + \frac{u-v}{4}\cdot 1 = \frac{(u+v)+(u-v)}{4}=\frac{2u}{4}=\frac{u}{2}.
Agora o coeficiente de x:
\frac{u+v}{4}\cdot(-1)+\frac{u-v}{4}\cdot(3) = \frac{-(u+v)+3(u-v)}{4} = \frac{-u - v +3u -3v}{4} = \frac{2u-4v}{4}=\frac{u-2v}{2}.
Portanto obtemos a fórmula final:
T(u,v)=\dfrac{u}{2}+\dfrac{u-2v}{2}\,x.

Passo 6

Usando a fórmula para os vetores da base canônica:
T(1,0)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1-0}{2}\,x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}x,
T(0,1)=\dfrac{0}{2}+\dfrac{0-2\cdot1}{2}\,x= -x.
Representação matricial: tomando coordenadas em relação à base canônica de \mathbb{R}^2 e à base \{1,x\} de P_1, o polinômio a+bx corresponde ao vetor coluna \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}. As colunas da matriz de T são as coordenadas de T(1,0) e T(0,1):
[T]_{\text{can},\{1,x\}}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: multiplicando esta matriz por \begin{pmatrix}u\\\ v\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u/2\\\ u/2 - v\end{pmatrix}, que corresponde ao polinômio
\dfrac{u}{2}+\left(\dfrac{u}{2}-v\right)x=\dfrac{u}{2}+\dfrac{u-2v}{2}x, consistente com o que encontramos.]

Resposta

T(u,v)=\dfrac{u}{2}+\dfrac{u-2v}{2}\,x
T(1,0)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}x
T(0,1)=-x
Matriz de T (base canônica e \{1,x\}):
\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0\\[6pt] \dfrac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}]

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