logo v_1 e v_2 formam uma base de \mathbb{R}^2. Isso significa que qualquer (u,v)\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito de forma única como combinação linear de v_1 e v_2:
(u,v)=\alpha v_1+\beta v_2.]
Passo 3
Vamos expressar (u,v) em função de \alpha e \beta. Escrevendo as coordenadas:
Agora usamos linearidade de T: para o vetor (u,v)=\alpha v_1+\beta v_2 vale
T(u,v)=\alpha T(v_1)+\beta T(v_2).
Substituindo T(v_1)=1-x e T(v_2)=1+3x e os valores de \alpha,\beta:
T(u,v)=\dfrac{u+v}{4}(1-x)+\dfrac{u-v}{4}(1+3x).
Passo 5
Agora desenvolvemos e simplificamos para obter a fórmula explícita (usar x como a variável do polinômio):
Primeiro o termo constante (coeficiente de 1):
Representação matricial: tomando coordenadas em relação à base canônica de \mathbb{R}^2 e à base \{1,x\} de P_1, o polinômio a+bx corresponde ao vetor coluna \begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}. As colunas da matriz de T são as coordenadas de T(1,0) e T(0,1):
Verificação rápida: multiplicando esta matriz por \begin{pmatrix}u\\\ v\end{pmatrix} dá \begin{pmatrix}u/2\\\ u/2 - v\end{pmatrix}, que corresponde ao polinômio \dfrac{u}{2}+\left(\dfrac{u}{2}-v\right)x=\dfrac{u}{2}+\dfrac{u-2v}{2}x, consistente com o que encontramos.]