Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
, com
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a aplicação
definida por
é uma aplicação linear.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O espaço
é o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a . - Para cada
, é o polinômio obtido multiplicando por e somando o número (que é um escalar) interpretado como o polinômio constante .
Passo 2
O que significa “aplicação linear”? Vou explicar devagar e com calma. Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para todo
e todo escalar
, valem as duas propriedades:
Se conseguirmos provar essas duas igualdade para a definição dada de
, então
é linear. Se alguma falhar,
não é linear.
Passo 3
Vou testar a aditividade passo a passo. Tome
. Então
Agora, usando que
e
, obtemos
Distribuindo,
Reagrupando os termos,
Pelo enunciado,
e
. Portanto
Concluímos que
satisfaz a aditividade.
Passo 4
Agora testo a homogeneidade. Tome um escalar
e
. Então
Como
é escalar,
é apenas
vezes
, e
. Assim
Colocando
em evidência,
Portanto
satisfaz a homogeneidade.
Passo 5
Como mostramos explicitamente que, para todos
e todo escalar
, vale
concluímos que
é uma aplicação linear. Vou dar uma interpretação extra, bem didática:
é soma de duas operações lineares conhecidas:
- a multiplicação por
, , que é linear (produto por uma função fixa é linear), - a avaliação em
seguida de multiplicação pelo polinômio constante , , que também é linear (avaliar em é uma forma linear e multiplicar o escalar resultante pelo vetor fixo dá um operador linear).
Logoé soma de operadores lineares e, portanto, linear.
Passo 6
Exemplo numérico rápido só para conferir na prática: tome
e
. Então
Somando,
Agora
, e
que coincide com
. Isso é um exemplo concreto que confirma a aditividade já provada.