Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
T: P_{2} \longrightarrow P_{2}, com T(p(t))=t p(t)+p(0)

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a aplicação T: P_{2}\longrightarrow P_{2} definida por
T(p(t)) = t\,p(t) + p(0)
é uma aplicação linear.
Informações dadas:
  • O espaço P_{2} é o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2.
  • Para cada p\in P_{2}, T(p) é o polinômio obtido multiplicando p por t e somando o número p(0) (que é um escalar) interpretado como o polinômio constante p(0).

Passo 2

O que significa “aplicação linear”? Vou explicar devagar e com calma. Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todo p,q\in P_{2} e todo escalar \alpha, valem as duas propriedades:
\text{(aditividade)}\quad T(p+q)=T(p)+T(q),
\text{(homogeneidade)}\quad T(\alpha p)=\alpha\,T(p).
Se conseguirmos provar essas duas igualdade para a definição dada de T, então T é linear. Se alguma falhar, T não é linear.

Passo 3

Vou testar a aditividade passo a passo. Tome p,q\in P_{2}. Então
T(p+q)=t\,(p+q)(t) + (p+q)(0).
Agora, usando que (p+q)(t)=p(t)+q(t) e (p+q)(0)=p(0)+q(0), obtemos
T(p+q)=t\big(p(t)+q(t)\big) + \big(p(0)+q(0)\big).
Distribuindo,
T(p+q)=t\,p(t)+t\,q(t)+p(0)+q(0).
Reagrupando os termos,
T(p+q)=\big(t\,p(t)+p(0)\big) + \big(t\,q(t)+q(0)\big).
Pelo enunciado, \big(t\,p(t)+p(0)\big)=T(p) e \big(t\,q(t)+q(0)\big)=T(q). Portanto
T(p+q)=T(p)+T(q).
Concluímos que T satisfaz a aditividade.

Passo 4

Agora testo a homogeneidade. Tome um escalar \alpha e p\in P_{2}. Então
T(\alpha p)=t\big(\alpha p(t)\big) + (\alpha p)(0).
Como \alpha é escalar, \alpha p(t) é apenas \alpha vezes p(t), e (\alpha p)(0)=\alpha p(0). Assim
T(\alpha p)=t\big(\alpha p(t)\big) + \alpha p(0)=\alpha\big(t\,p(t)\big) + \alpha p(0).
Colocando \alpha em evidência,
T(\alpha p)=\alpha\big(t\,p(t)+p(0)\big)=\alpha\,T(p).
Portanto T satisfaz a homogeneidade.

Passo 5

Como mostramos explicitamente que, para todos p,q\in P_{2} e todo escalar \alpha, vale
T(p+q)=T(p)+T(q)\quad\text{e}\quad T(\alpha p)=\alpha T(p),
concluímos que T é uma aplicação linear. Vou dar uma interpretação extra, bem didática: T é soma de duas operações lineares conhecidas:
  • a multiplicação por t, M(p)(t)=t\,p(t), que é linear (produto por uma função fixa é linear),
  • a avaliação em 0 seguida de multiplicação pelo polinômio constante 1, E(p)=p(0)\cdot 1, que também é linear (avaliar em 0 é uma forma linear e multiplicar o escalar resultante pelo vetor fixo 1 dá um operador linear).
    Logo T=M+E é soma de operadores lineares e, portanto, linear.

Passo 6

Exemplo numérico rápido só para conferir na prática: tome p(t)=t^2+2t+3 e q(t)=t+1. Então
T(p)=t(t^2+2t+3)+p(0)=t^3+2t^2+3t+3,
T(q)=t(t+1)+q(0)=t^2+t+1.
Somando,
T(p)+T(q)=t^3+3t^2+4t+4.
Agora p+q=t^2+3t+4, e
T(p+q)=t(t^2+3t+4)+(p+q)(0)=t^3+3t^2+4t+4,
que coincide com T(p)+T(q). Isso é um exemplo concreto que confirma a aditividade já provada.

Resposta

T é uma aplicação linear.

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