Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
definida por
A pergunta é: determinar se
é uma aplicação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio e contradomínio: o espaço vetorial
(matrizes reais). - Regra explícita que associa a cada matriz
a matriz .]
Passo 2
Lembrando a definição de aplicação linear de forma bem direta e prática:
- Uma transformação
é linear se, para quaisquer matrizes e para qualquer escalar , valem as duas propriedades: - aditividade:
; - homogeneidade (compatibilidade com escalares):
.
- aditividade:
Vou verificar essas duas propriedades diretamente usando entradas das matrizes (método padrão e seguro numa prova).
Passo 3
Verificação da aditividade.
Sejam
Então a soma é
Aplicando
à soma, pela regra do enunciado:
Agora calcule
e
separadamente:
Somando essas duas matrizes temos
Agora observe que as entradas correspondem termo a termo:
Portanto
Conclusão: a propriedade de aditividade é satisfeita.]
Passo 4
Verificação da homogeneidade (compatibilidade com escalares).
Seja
e
Temos
Aplicando
em
pela regra dada:
Por outro lado, multiplicando
por
obtemos
As duas matrizes são idênticas, logo
Conclusão: a propriedade de homogeneidade é satisfeita.]
Passo 5
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para matrizes arbitrárias de
e escalar arbitrário
, segue que
é linear.
Observação rápida e útil para prova: de linearidade também decorre que
leva a matriz zero em zero, pois
. Se alguém pedir checagem extra, isso já fica satisfeito automaticamente.
Resposta
Sim:
é uma aplicação linear.