Determine quais das seguintes funções são Aplicações Lineares
T: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}), \operatorname{com} T\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}b & c-d \\\ c+d & 2 a\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T: M_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow M_{2}(\mathbb{R}) definida por
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}b & c-d \\[4pt] c+d & 2a\end{pmatrix}.
A pergunta é: determinar se T é uma aplicação linear (ou seja, responder “sim” ou “não” e justificar).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio e contradomínio: o espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais).
  • Regra explícita que associa a cada matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} a matriz \begin{pmatrix}b & c-d \\\ c+d & 2a\end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembrando a definição de aplicação linear de forma bem direta e prática:
  • Uma transformação T é linear se, para quaisquer matrizes X,Y\in M_{2}(\mathbb{R}) e para qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
    1. aditividade: T(X+Y)=T(X)+T(Y);
    2. homogeneidade (compatibilidade com escalares): T(\lambda X)=\lambda T(X).
Vou verificar essas duas propriedades diretamente usando entradas das matrizes (método padrão e seguro numa prova).

Passo 3

Verificação da aditividade.
Sejam
X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}a' & b' \\[4pt] c' & d'\end{pmatrix}.
Então a soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\[4pt] c+c' & d+d'\end{pmatrix}.
Aplicando T à soma, pela regra do enunciado:
T(X+Y) = \begin{pmatrix} b+b' & (c+c')-(d+d') \\[4pt] (c+c')+(d+d') & 2(a+a') \end{pmatrix}.
Agora calcule T(X) e T(Y) separadamente:
T(X)=\begin{pmatrix}b & c-d \\[4pt] c+d & 2a\end{pmatrix}, \qquad T(Y)=\begin{pmatrix}b' & c'-d' \\[4pt] c'+d' & 2a'\end{pmatrix}.
Somando essas duas matrizes temos
T(X)+T(Y) = \begin{pmatrix} b+b' & (c-d)+(c'-d') \\[4pt] (c+d)+(c'+d') & 2a+2a' \end{pmatrix}.
Agora observe que as entradas correspondem termo a termo:
(c+c')-(d+d')=(c-d)+(c'-d'),\qquad (c+c')+(d+d')=(c+d)+(c'+d'),\qquad 2(a+a')=2a+2a'.
Portanto
T(X+Y)=T(X)+T(Y).
Conclusão: a propriedade de aditividade é satisfeita.]

Passo 4

Verificação da homogeneidade (compatibilidade com escalares).
Seja \lambda\in\mathbb{R} e
X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
Temos
\lambda X = \begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b \\[4pt] \lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Aplicando T em \lambda X pela regra dada:
T(\lambda X) = \begin{pmatrix} \lambda b & \lambda c - \lambda d \\[4pt] \lambda c + \lambda d & 2(\lambda a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda b & \lambda(c-d) \\[4pt] \lambda(c+d) & \lambda (2a) \end{pmatrix}.
Por outro lado, multiplicando \lambda por T(X) obtemos
\lambda T(X) = \lambda\begin{pmatrix}b & c-d \\[4pt] c+d & 2a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda b & \lambda(c-d) \\[4pt] \lambda(c+d) & \lambda(2a) \end{pmatrix}.
As duas matrizes são idênticas, logo
T(\lambda X)=\lambda T(X).
Conclusão: a propriedade de homogeneidade é satisfeita.]

Passo 5

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para matrizes arbitrárias de M_{2}(\mathbb{R}) e escalar arbitrário \lambda, segue que T é linear.
Observação rápida e útil para prova: de linearidade também decorre que T leva a matriz zero em zero, pois T(0)=T(0\cdot X)=0\cdot T(X)=0. Se alguém pedir checagem extra, isso já fica satisfeito automaticamente.

Resposta

Sim: T é uma aplicação linear.

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