Considere T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow R^{3} transformação linear tal que
T(1,0,0)=(2,1,1), T(0,1,0)=(-1,-1,1) \text { e } T(0,0,1)=(-1,-1,-1)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 através das imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(2,1,1),\qquad T(0,1,0)=(-1,-1,1),\qquad T(0,0,1)=(-1,-1,-1).
As perguntas que vamos responder (coisas que normalmente se pedem numa prova) são:
  • Encontrar a matriz de T na base canônica.
  • Escrever a fórmula de T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z).
  • Calcular o determinante da matriz associada e concluir se T é invertível.
  • Se for invertível, calcular a matriz inversa T^{-1}.

Passo 2

Primeiro lembrete prático: a matriz de uma transformação linear T na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja, se A é a matriz de T então
A=\big[\,T(1,0,0)\;\;T(0,1,0)\;\;T(0,0,1)\,\big].
Pego dos dados do enunciado os vetores que formam as colunas. Assim a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora usamos linearidade para obter T aplicado a um vetor genérico. Para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=x\,T(1,0,0)+y\,T(0,1,0)+z\,T(0,0,1).
Substituindo as imagens conhecidas:
T(x,y,z)=x\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix} +y\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix} +z\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Somando componente a componente:
  • Primeira componente: 2x + (-1)y + (-1)z = 2x - y - z.
  • Segunda componente: 1x + (-1)y + (-1)z = x - y - z.
  • Terceira componente: 1x + 1y + (-1)z = x + y - z.
Portanto a fórmula fechada é
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}2x-y-z\\[4pt]x-y-z\\[4pt]x+y-z\end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A. Para a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
usamos a expansão pela primeira linha (ou qualquer método de 3×3). Compute os menores:
\begin{aligned} M_{11}&=\det\begin{pmatrix}-1 & -1\\[2pt] 1 & -1\end{pmatrix}=(-1)(-1)-(-1)(1)=1-(-1)=2,\\[4pt] M_{12}&=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] 1 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-(-1)\cdot1=-1-(-1)=0,\\[4pt] M_{13}&=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot1=1-(-1)=2. \end{aligned}
Com os sinais da expansão por cofatores ( +\;-\;+ na primeira linha),
\det(A)=2\cdot M_{11} -(-1)\cdot M_{12} +(-1)\cdot M_{13}=2\cdot2 -(-1)\cdot0 +(-1)\cdot2 =4+0-2=2.
Como \det(A)=2\neq0, a transformação T é invertível (isto é, bijetiva). Explicação intuitiva rápida: determinante não nulo ⇔ colunas linearmente independentes ⇔ núcleo trivial ⇔ existe inversa linear.]

Passo 5

Agora calculamos a inversa A^{-1}. Vou usar o método dos cofatores (matriz adjunta). Primeiro a matriz de cofatores C (cada entrada é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})) foi calculada componente a componente:
C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\[4pt] -2 & -1 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugata) é a transposta dessa matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{\!T}=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
Finalmente
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 1 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Um pequeno cheque: a primeira coluna de A^{-1} é (1,0,1)^T. Multiplicando A por essa coluna obtém-se (1,0,0)^T, o que confirma que a primeira coluna de A^{-1} é correta; análogos cheques valem para as outras colunas.]

Passo 6

Resumo rápido (sinta-se confiante — essas são exatamente as coisas que costumam cair em prova): já temos a matriz da transformação, a fórmula para T(x,y,z), sabemos que T é invertível porque o determinante é não nulo, e temos a matriz inversa explícita.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}2x-y-z\\[4pt]x-y-z\\[4pt]x+y-z\end{pmatrix}
\det(A)=2
T\\ \text{é invertível}éí
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 1 & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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