As perguntas que vamos responder (coisas que normalmente se pedem numa prova) são:
Encontrar a matriz de T na base canônica.
Escrever a fórmula de T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z).
Calcular o determinante da matriz associada e concluir se T é invertível.
Se for invertível, calcular a matriz inversa T^{-1}.
Passo 2
Primeiro lembrete prático: a matriz de uma transformação linear T na base canônica tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja, se A é a matriz de T então
A=\big[\,T(1,0,0)\;\;T(0,1,0)\;\;T(0,0,1)\,\big].
Pego dos dados do enunciado os vetores que formam as colunas. Assim a matriz A é
Como \det(A)=2\neq0, a transformação T é invertível (isto é, bijetiva). Explicação intuitiva rápida: determinante não nulo ⇔ colunas linearmente independentes ⇔ núcleo trivial ⇔ existe inversa linear.]
Passo 5
Agora calculamos a inversa A^{-1}. Vou usar o método dos cofatores (matriz adjunta). Primeiro a matriz de cofatores C (cada entrada é C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})) foi calculada componente a componente:
Um pequeno cheque: a primeira coluna de A^{-1} é (1,0,1)^T. Multiplicando A por essa coluna obtém-se (1,0,0)^T, o que confirma que a primeira coluna de A^{-1} é correta; análogos cheques valem para as outras colunas.]
Passo 6
Resumo rápido (sinta-se confiante — essas são exatamente as coisas que costumam cair em prova): já temos a matriz da transformação, a fórmula para T(x,y,z), sabemos que T é invertível porque o determinante é não nulo, e temos a matriz inversa explícita.