Considere z, w \in \mathbb{C}. Mostre que
|z+i w|^{2}+|w+i z|^{2}=2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right) .

Passo 1

O enunciado dá que z,w\in\mathbb{C} são números complexos quaisquer e pede para mostrar a identidade
|z+i w|^{2}+|w+i z|^{2}=2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • z e w são complexos arbitrários.
  • A expressão envolve módulos de somas de complexos e soma desses quadrados de módulo.
    O objetivo é provar que a igualdade acima vale para quaisquer z,w.

Passo 2

Lembrete sobre módulo e conjugado (coisa básica, mas importante): para qualquer número complexo a escrito como a=x+iy com x,y\in\mathbb{R},
|a|^{2}=x^{2}+y^{2}.
Uma forma muito útil de calcular |a|^{2} é usando o conjugado \overline{a}. Vale a identidade
|a|^{2}=a\,\overline{a}.
Pequena demonstração dessa identidade: se a=x+iy então \overline{a}=x-iy e
a\,\overline{a}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}=|a|^{2}.
Vamos usar essa igualdade porque ela transforma o quadrado do módulo numa multiplicação que é fácil de expandir.

Passo 3

Propriedades do conjugado que usaremos:
  • \overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}.
  • \overline{uv}=\overline{u}\,\overline{v}.
  • \overline{i}=-i.
    Aplicando essas propriedades obtemos, por exemplo,
\overline{z+i w}=\overline{z}+\overline{i}\,\overline{w}=\overline{z}-i\overline{w}.

Passo 4

Calculemos |z+i w|^{2} usando a identidade |a|^{2}=a\overline{a}:
|z+i w|^{2}=(z+i w)\overline{(z+i w)}=(z+i w)(\overline{z}-i\overline{w}).
Agora expandimos o produto passo a passo:
(z+i w)(\overline{z}-i\overline{w})=z\overline{z}-i z\overline{w}+i w\overline{z}-i^{2}w\overline{w}.
Usando i^{2}=-1 isso fica
|z+i w|^{2}=z\overline{z}+w\overline{w}+i\bigl(w\overline{z}-z\overline{w}\bigr).
Note que z\overline{z}=|z|^{2} e w\overline{w}=|w|^{2}, mas por enquanto vamos manter a escrita em termos de z\overline{z} e w\overline{w}.

Passo 5

Agora calculamos |w+i z|^{2} da mesma maneira:
|w+i z|^{2}=(w+i z)\overline{(w+i z)}=(w+i z)(\overline{w}-i\overline{z}).
Expandindo:
(w+i z)(\overline{w}-i\overline{z})=w\overline{w}-i w\overline{z}+i z\overline{w}-i^{2}z\overline{z}.
Com i^{2}=-1 obtemos
|w+i z|^{2}=w\overline{w}+z\overline{z}+i\bigl(z\overline{w}-w\overline{z}\bigr).

Passo 6

Somando as duas expressões obtidas em Passo 4 e Passo 5:
\begin{aligned} |z+i w|^{2}+|w+i z|^{2} &=\bigl(z\overline{z}+w\overline{w}+i(w\overline{z}-z\overline{w})\bigr)\\\ &\quad+\bigl(w\overline{w}+z\overline{z}+i(z\overline{w}-w\overline{z})\bigr). \end{aligned}
Os termos imaginários somam-se a zero porque
i(w\overline{z}-z\overline{w})+i(z\overline{w}-w\overline{z})=0.
Portanto sobra
|z+i w|^{2}+|w+i z|^{2}=2\bigl(z\overline{z}+w\overline{w}\bigr)=2\bigl(|z|^{2}+|w|^{2}\bigr).

Passo 7

Comentário rápido sobre a escolha do método: usei a relação |a|^{2}=a\overline{a} porque transforma o quadrado do módulo numa multiplicação cuja expansão mostra imediatamente os termos reais e imaginários, e os termos imaginários se cancelam quando somamos as duas quantidades. Uma alternativa seria escrever z e w como z=x+iy, w=u+iv e expandir em coordenadas reais; daria o mesmo resultado, porém com mais cálculos algébricos. A técnica com conjugado é mais curta e elegante.

Resposta

|z+i w|^{2}+|w+i z|^{2}=2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right)

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