A expressão envolve módulos de somas de complexos e soma desses quadrados de módulo.
O objetivo é provar que a igualdade acima vale para quaisquer z,w.
Passo 2
Lembrete sobre módulo e conjugado (coisa básica, mas importante): para qualquer número complexo a escrito como a=x+iy com x,y\in\mathbb{R},
|a|^{2}=x^{2}+y^{2}.
Uma forma muito útil de calcular |a|^{2} é usando o conjugado \overline{a}. Vale a identidade
|a|^{2}=a\,\overline{a}.
Pequena demonstração dessa identidade: se a=x+iy então \overline{a}=x-iy e
a\,\overline{a}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}=|a|^{2}.
Vamos usar essa igualdade porque ela transforma o quadrado do módulo numa multiplicação que é fácil de expandir.
Passo 3
Propriedades do conjugado que usaremos:
\overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}.
\overline{uv}=\overline{u}\,\overline{v}.
\overline{i}=-i.
Aplicando essas propriedades obtemos, por exemplo,
Comentário rápido sobre a escolha do método: usei a relação |a|^{2}=a\overline{a} porque transforma o quadrado do módulo numa multiplicação cuja expansão mostra imediatamente os termos reais e imaginários, e os termos imaginários se cancelam quando somamos as duas quantidades. Uma alternativa seria escrever z e w como z=x+iy, w=u+iv e expandir em coordenadas reais; daria o mesmo resultado, porém com mais cálculos algébricos. A técnica com conjugado é mais curta e elegante.