Seja \alpha \in \mathbb{C} tal que \alpha^{3}=-1 e \alpha \neq-1. Calcule \left(\alpha^{2}(\alpha-1)^{2}\right)^{-1}. (Sugestão: não é necessário calcular explicitamente os possíveis valores de \alpha.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \alpha \in \mathbb{C}.
  • \alpha^{3} = -1.
  • \alpha \neq -1.
O que se pede: calcular \left(\alpha^{2}(\alpha-1)^{2}\right)^{-1}, ou seja, 1/\big(\alpha^{2}(\alpha-1)^{2}\big).

Passo 2

Usar a relação \alpha^{3}=-1 matricialmente. Note que
\alpha^{3}+1=0.
Aplicando a fatoração da soma de cubos (fórmula: x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})) com x=\alpha e y=1, obtemos
\alpha^{3}+1=(\alpha+1)(\alpha^{2}-\alpha+1)=0.
Como o enunciado diz que \alpha\neq-1, a primeira fator não pode ser zero. Logo o segundo fator deve ser zero:
\alpha^{2}-\alpha+1=0.

Passo 3

A partir de \alpha^{2}-\alpha+1=0 isolamos \alpha^{2}:
\alpha^{2}=\alpha-1.
Isso também implica, isolando \alpha-1:
\alpha-1=\alpha^{2}.
É só uma reescrita — importante porque relaciona \alpha-1 com uma potência de \alpha.

Passo 4

Agora calcule (\alpha-1)^{2} utilizando \alpha-1=\alpha^{2}:
(\alpha-1)^{2}=(\alpha^{2})^{2}=\alpha^{4}.
Multiplicando por \alpha^{2} obtemos
\alpha^{2}(\alpha-1)^{2}=\alpha^{2}\cdot\alpha^{4}=\alpha^{6}.
Aqui usei a propriedade das potências: \alpha^{a}\alpha^{b}=\alpha^{a+b}.

Passo 5

Calcular \alpha^{6} a partir de \alpha^{3}=-1:
\alpha^{6}=(\alpha^{3})^{2}=(-1)^{2}=1.
Portanto \alpha^{2}(\alpha-1)^{2}=\alpha^{6}=1.

Passo 6

Finalmente, o inverso pedido é
\left(\alpha^{2}(\alpha-1)^{2}\right)^{-1}=\frac{1}{\alpha^{2}(\alpha-1)^{2}}=\frac{1}{1}=1.

Resposta

1

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