Mostre que, se
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade
para todo
.
Informações que o enunciado nos dá e que vamos usar (peguei tudo do próprio enunciado):
- Seja
. Escrevemos com e . - A definição do módulo é
- Os termos
e são simplesmente e .
O que precisamos provar, então, é
para todo
.
Passo 2
Prova da primeira desigualdade
.
Começo escrevendo os quadrados (ambos os lados são não negativos, então podemos quadrar sem mudar a direção da desigualdade). Temos
Como
, segue que
Tirando a raiz quadrada (ambos os lados não negativos) obtemos
Isto é exatamente a primeira desigualdade
Comentário intuitivo: geometricamente, a distância euclidiana
é menor ou igual à distância ao andar primeiro em
e depois em
, que é
. É o mesmo que comparar norma Euclidiana com a norma
.
Passo 3
Prova da segunda desigualdade
.
Novamente escrevo o quadrado do lado esquerdo:
Usamos a desigualdade básica para reais
que decorre de
, pois
Substituindo isso em
obtemos
Tirando raiz quadrada (lados não negativos) dá
Observação alternativa: a segunda desigualdade também pode ser vista como uma consequência da desigualdade de Cauchy–Schwarz aplicada aos vetores
e
.
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a cadeia completa:
Isto prova o que o enunciado pedia.
Passo 5
Casos de igualdade (útil para intuir quando cada limite é atingido):
- A igualdade esquerda
ocorre quando um dos valores ou é zero (isto é, é puramente real ou puramente imaginário). - A igualdade direita
ocorre quando (isto é, tem argumento ou ); por exemplo, para temos e .
Passo 6
Resumo final e um empurrãozinho de ânimo: provamos passo a passo as duas desigualdades usando manipulações elementares (quadrar expressões não negativas e a observação
). Essas técnicas aparecem muito em provas e exercícios — quando os dois lados são não negativos, quadrar costuma simplificar comparações e é uma ferramenta que funciona bem. Vai dar certo na prova — respira, revisa esses passos e pratica com exemplos numéricos rápidos.