Mostre que, se z \in \mathbb{C}, então
|z| \leq|\operatorname{Re} z|+|\operatorname{Im} z| \leq \sqrt{2}|z|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade
|z| \leq |\operatorname{Re} z| + |\operatorname{Im} z| \leq \sqrt{2}\,|z|
para todo z\in\mathbb{C}.
Informações que o enunciado nos dá e que vamos usar (peguei tudo do próprio enunciado):
  • Seja z\in\mathbb{C}. Escrevemos z = x + i y com x=\operatorname{Re} z e y=\operatorname{Im} z.
  • A definição do módulo é
|z| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Os termos |\operatorname{Re} z| e |\operatorname{Im} z| são simplesmente |x| e |y|.
O que precisamos provar, então, é
\sqrt{x^{2}+y^{2}} \le |x|+|y| \le \sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}
para todo x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

Prova da primeira desigualdade \,|z|\le |x|+|y|\,.
Começo escrevendo os quadrados (ambos os lados são não negativos, então podemos quadrar sem mudar a direção da desigualdade). Temos
|z|^{2} = x^{2}+y^{2}, \qquad (|x|+|y|)^{2} = x^{2}+y^{2}+2|x||y|.
Como 2|x||y|\ge 0, segue que
(|x|+|y|)^{2} \ge x^{2}+y^{2} = |z|^{2}.
Tirando a raiz quadrada (ambos os lados não negativos) obtemos
|x|+|y| \ge |z|.
Isto é exatamente a primeira desigualdade
|z| \le |x|+|y|.
Comentário intuitivo: geometricamente, a distância euclidiana \sqrt{x^{2}+y^{2}} é menor ou igual à distância ao andar primeiro em x e depois em y, que é |x|+|y|. É o mesmo que comparar norma Euclidiana com a norma L^{1}.

Passo 3

Prova da segunda desigualdade \,|x|+|y| \le \sqrt{2}\,|z|\,.
Novamente escrevo o quadrado do lado esquerdo:
(|x|+|y|)^{2} = x^{2}+y^{2}+2|x||y|.
Usamos a desigualdade básica para reais
2|x||y| \le x^{2}+y^{2},
que decorre de (|x|-|y|)^{2}\ge 0, pois
(|x|-|y|)^{2} = x^{2}+y^{2}-2|x||y| \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 2|x||y|\le x^{2}+y^{2}.
Substituindo isso em (|x|+|y|)^{2} obtemos
(|x|+|y|)^{2} \le x^{2}+y^{2} + (x^{2}+y^{2}) = 2(x^{2}+y^{2}) = 2|z|^{2}.
Tirando raiz quadrada (lados não negativos) dá
|x|+|y| \le \sqrt{2}\,|z|.
Observação alternativa: a segunda desigualdade também pode ser vista como uma consequência da desigualdade de Cauchy–Schwarz aplicada aos vetores (|x|,|y|) e (1,1).

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores obtemos a cadeia completa:
|z| \le |x|+|y| \le \sqrt{2}\,|z|.
Isto prova o que o enunciado pedia.

Passo 5

Casos de igualdade (útil para intuir quando cada limite é atingido):
  • A igualdade esquerda |z| = |x|+|y| ocorre quando um dos valores x ou y é zero (isto é, z é puramente real ou puramente imaginário).
  • A igualdade direita |x|+|y| = \sqrt{2}\,|z| ocorre quando |x|=|y| (isto é, z tem argumento \pm \pi/4 ou \pm 3\pi/4); por exemplo, para z=1+i temos |z|=\sqrt{2} e |x|+|y|=2=\sqrt{2}\,|z|.

Passo 6

Resumo final e um empurrãozinho de ânimo: provamos passo a passo as duas desigualdades usando manipulações elementares (quadrar expressões não negativas e a observação (a-b)^{2}\ge 0). Essas técnicas aparecem muito em provas e exercícios — quando os dois lados são não negativos, quadrar costuma simplificar comparações e é uma ferramenta que funciona bem. Vai dar certo na prova — respira, revisa esses passos e pratica com exemplos numéricos rápidos.

Resposta

|z| \leq|\operatorname{Re} z|+|\operatorname{Im} z| \leq \sqrt{2}|z|

Exercícios relacionados