Considere z, w \in \mathbb{C}. Mostre que
|1-\bar{z} w|^{2}-|z-w|^{2}=\left(1-|z|^{2}\right)\left(1-|w|^{2}\right) .
Deduza que, se |z|<1 e |w|<1, então
\left|\frac{z-w}{1-\bar{z} w}\right|<1

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos z e w e pede duas coisas:
  • Mostrar a identidade
|1-\bar{z} w|^{2}-|z-w|^{2}=\left(1-|z|^{2}\right)\left(1-|w|^{2}\right).
  • Deduzi­r que, se |z|<1 e |w|<1, então
\left|\frac{z-w}{1-\bar{z} w}\right|<1.
Informações relevantes dadas: z,w\in\mathbb{C}. Nada mais foi fornecido; a prova deve usar propriedades básicas de conjugação e módulo de números complexos.

Passo 2

Lembrando duas propriedades fundamentais que vou usar (e explico rapidinho):
  • Para qualquer complexo a vale |a|^{2}=a\overline{a}. Isso é o que significa módulo quadrado: produto do número pela sua conjugada.
  • A conjugação respeita produto e soma: \overline{ab}=\bar a\bar b e \overline{a+b}=\bar a+\bar b.
Vou aplicar essas propriedades para transformar os módulos quadrados em produtos mais fáceis de manipular.

Passo 3

Escrevo cada termo como produto por sua conjugada:
|1-\bar{z}w|^{2}=(1-\bar{z}w)\,\overline{(1-\bar{z}w)}.
Agora \overline{(1-\bar{z}w)}=1-\overline{\bar{z}w}=1-z\bar{w}, porque \overline{\bar z}=z e \overline{w}=\bar w. Logo
|1-\bar{z}w|^{2}=(1-\bar{z}w)(1-z\bar{w}).
Do mesmo modo,
|z-w|^{2}=(z-w)\,\overline{(z-w)}=(z-w)(\bar z-\bar w).

Passo 4

Agora expando ambos os produtos passo a passo. Primeiro o primeiro:
(1-\bar{z}w)(1-z\bar{w}) =1 - z\bar{w} - \bar{z}w + (\bar{z}w)(z\bar{w}).
No último termo, (\bar{z}w)(z\bar{w})=\bar{z}z\,w\bar{w}=|z|^{2}|w|^{2}, pois \bar z z=|z|^2 e w\bar w=|w|^2. Então
|1-\bar{z}w|^{2}=1 - z\bar{w} - \bar{z}w + |z|^{2}|w|^{2}.
Agora expando o segundo produto:
(z-w)(\bar z-\bar w)=z\bar z - z\bar w - w\bar z + w\bar w.
Aqui z\bar z=|z|^{2} e w\bar w=|w|^{2}. Então
|z-w|^{2}=|z|^{2} - z\bar w - w\bar z + |w|^{2}.

Passo 5

Faço a diferença termo a termo:
\begin{aligned} |1-\bar{z}w|^{2}-|z-w|^{2} &=\bigl(1 - z\bar{w} - \bar{z}w + |z|^{2}|w|^{2}\bigr) -\bigl(|z|^{2} - z\bar w - w\bar z + |w|^{2}\bigr) \\\ &=1 - z\bar w - \bar z w + |z|^{2}|w|^{2} - |z|^{2} + z\bar w + w\bar z - |w|^{2}. \end{aligned}
Note que os termos - z\bar w e + z\bar w cancelam, e também -\bar z w e + w\bar z são iguais (já que w\bar z=\overline{\bar w z}=\bar z w ), então eles também cancelam. Ficamos com
|1-\bar{z}w|^{2}-|z-w|^{2}=1 - |z|^{2} - |w|^{2} + |z|^{2}|w|^{2}.

Passo 6

O lado direito é fatorável de forma simples (identidade algébrica):
1 - |z|^{2} - |w|^{2} + |z|^{2}|w|^{2}=(1-|z|^{2})(1-|w|^{2}).
Portanto obtivemos exatamente a identidade pedida:
|1-\bar{z} w|^{2}-|z-w|^{2}=\left(1-|z|^{2}\right)\left(1-|w|^{2}\right).

Passo 7

Agora a dedução da desigualdade. Se |z|<1 e |w|<1, então \,1-|z|^{2}>0 e \,1-|w|^{2}>0. Assim o produto (1-|z|^{2})(1-|w|^{2}) é estritamente positivo. Pela identidade do passo anterior segue que
|1-\bar{z} w|^{2}-|z-w|^{2}>0,
ou seja
|1-\bar{z} w|^{2}>|z-w|^{2}.
Tomando raízes quadradas (ambos os lados são não-negativos) obtemos
|1-\bar{z} w|>|z-w|.
Como o lado esquerdo é estritamente positivo, podemos dividir ambos os lados por |1-\bar{z} w| sem problema, chegando a
\left|\frac{z-w}{1-\bar{z} w}\right|<1.
Observação: a divisão é legal porque da desigualdade anterior segue |1-\bar{z} w|>0, então o denominador não é zero.

Resposta

|1-\bar{z} w|^{2}-|z-w|^{2}=(1-|z|^{2})(1-|w|^{2})
\displaystyle \left|\frac{z-w}{1-\bar{z} w}\right|<1 (quando |z|<1 e |w|<1).

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