Considere
munido do produto interno usual e
:
0,7
e
. Encontre uma base ortonormal para
.
0,7
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal para
, onde
com o produto interno usual e
Informações relevantes dadas:
-
é o subespaço de definido pelas duas equações lineares e . - Quer-se uma base ortonormal de
no produto interno padrão (produto escalar usual em ).
Passo 2
Entendendo o que é
. Para o produto interno usual, cada equação linear do tipo
corresponde ao conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal
. Assim, os vetores normais das duas equações pertencem a
, e
é gerado por esses vetores normais (ou seja, é o espaço linear gerado por eles), desde que sejam linearmente independentes. Portanto vamos extrair esses vetores normais.
Das equações temos os vetores normais
Passo 3
Verificar se
e
são linearmente independentes. Se fossem múltiplos um do outro, existiria
tal que
. Comparando as componentes, a primeira componente dá
, mas então a segunda componente exigiria
, contradição. Logo
e
são LI e, portanto,
tem dimensão
. Agora precisamos ortonormalizar
.
Passo 4
Lembrando o método de Gram–Schmidt (explicação curta): para ortonormalizar uma família de vetores
, primeiro normaliza-se
para obter
. Depois projeta-se
sobre
e subtrai-se essa projeção para obter um vetor ortogonal a
; então normaliza-se esse vetor para obter
. Iremos aplicar isso com
e
.
Calcule
:
Portanto o primeiro vetor da base ortonormal será
Passo 5
Calcular a projeção de
sobre
. Primeiro o produto interno
A projeção é
. Então subtraindo da
obtemos o vetor ortogonal a
:
Calculemos
explicitamente. Como
, temos
. Então
Podemos fatorar
para facilitar os cálculos seguintes.
Passo 6
Normalizar
para obter
. Calcule o quadrado da norma:
Logo
Assim
Verificação rápida (opcional):
por construção e
.
Passo 7
Conclusão:
é uma base ortonormal de
. Para recapitular os vetores finais: