Seja T um operador linear no \mathbb{R}^{3}, munido com o produto interno usual. Se \beta é a base
0. canônica do \mathbb{R}^{3} e a matriz de T em relação à \beta é (T)_{\beta}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\ a & b & c\end{array}\right), onde a, b, c \in \mathbb{R}. Determine os possíveis valores de a, b, c para que T seja uma isometria.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com a matriz, na base canônica \beta,
(T)_{\beta}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] a & b & c\end{pmatrix},
onde a,b,c\in\mathbb{R} são desconhecidos.
O que o problema pede: determinar todos os valores de a,b,c para que T seja uma isometria (isto é, preserve normas / produto interno).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz acima é em relação à base canônica (produto interno usual).
  • As incógnitas são a,b,c.]

Passo 2

Vamos lembrar um fato prático (explicado devagar): para uma transformação linear representada por uma matriz A na base ortonormal canônica do \mathbb{R}^3, ser isometria equivale a preservar produto interno ou norma para todo vetor. Matematicamente isso equivale a
A^{T}A = I,
ou seja, as colunas de A formam um conjunto ortonormal (vetores de norma 1 e mutuamente ortogonais). Então, em vez de calcular A^{T}A inteiro, é mais direto trabalhar com as colunas e impor que sejam ortonormais: cada coluna deve ter norma 1 e produtos internos entre colunas devem ser 0. Esse método é o mais direto aqui porque a matriz já está escrita por colunas simples.

Passo 3

Identificar as colunas de A=(T)_{\beta}. Denotando v_1,v_2,v_3 as colunas,
v_1=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]0\\[4pt]a\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]0\\[4pt]b\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]c\end{pmatrix}.
Vamos impor as condições de ortonormalidade: \|v_i\|=1 para i=1,2,3, e v_i\cdot v_j=0 para i\neq j.]

Passo 4

Calcular normas (condições \|v_i\|=1) uma a uma:
Para v_1,
\|v_1\|^2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+0^2+a^2=\dfrac{1}{2}+a^2.
Impor \|v_1\|^2=1
\dfrac{1}{2}+a^2=1 \quad\Rightarrow\quad a^2=\dfrac{1}{2}.
Logo |a|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Para v_2,
\|v_2\|^2=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+0^2+b^2=\dfrac{1}{2}+b^2.
Impor \|v_2\|^2=1
\dfrac{1}{2}+b^2=1 \quad\Rightarrow\quad b^2=\dfrac{1}{2}.
Logo |b|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Para v_3,
\|v_3\|^2=0^2+1^2+c^2=1+c^2.
Impor \|v_3\|^2=1
1+c^2=1 \quad\Rightarrow\quad c^2=0 \quad\Rightarrow\quad c=0.

Passo 5

Agora as condições de ortogonalidade entre colunas:
Produto v_1\cdot v_2:
v_1\cdot v_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+0\cdot0+a b=\dfrac{1}{2}+ab.
Impor v_1\cdot v_2=0
\dfrac{1}{2}+ab=0 \quad\Rightarrow\quad ab=-\dfrac{1}{2}.
Produto v_1\cdot v_3:
v_1\cdot v_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0 + 0\cdot 1 + a c = a c.
Impor v_1\cdot v_3=0 a c=0. Como já achamos c=0, essa condição está satisfeita.
Produto v_2\cdot v_3:
v_2\cdot v_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0 + 0\cdot 1 + b c = b c,
e com c=0 também fica satisfeito.

Passo 6

Resumo das equações obtidas:
a^2=\dfrac{1}{2},\qquad b^2=\dfrac{1}{2},\qquad c=0,\qquad ab=-\dfrac{1}{2}.
Das duas primeiras equações temos |a|=|b|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Juntando com ab=-\dfrac{1}{2} (notar que \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} multiplicado por \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} \pm\dfrac{1}{2}) vemos que o produto é -\dfrac{1}{2} exatamente quando a e b têm sinais opostos. Portanto as possibilidades para (a,b,c) são:
a=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\ b=-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\ c=0 \quad\text{ou}\quad a=-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\ b=\dfrac{1}{\sqrt{2}},\\ c=0.

Resposta

\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\\ b=-\frac{1}{\sqrt{2}},\\ c=0
\displaystyle a=-\frac{1}{\sqrt{2}},\\ b=\frac{1}{\sqrt{2}},\\ c=0

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