Seja T um operador linear no \mathbb{R}^{3}, munido com o produto interno usual. Se \beta é a base
0. canônica do \mathbb{R}^{3} e a matriz de T em relação à \beta é (T)_{\beta}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\ a & b & c\end{array}\right), onde a, b, c \in \mathbb{R}. Determine os possíveis valores de a, b, c para que T seja uma isometria.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com a matriz, na base canônica \beta,
(T)_{\beta}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \\[4pt] a & b & c\end{pmatrix},
onde a,b,c\in\mathbb{R} são desconhecidos.
O que o problema pede: determinar todos os valores de a,b,c para que T seja uma isometria (isto é, preserve normas / produto interno).
Informações relevantes dadas:
A matriz acima é em relação à base canônica (produto interno usual).
As incógnitas são a,b,c.]
Passo 2
Vamos lembrar um fato prático (explicado devagar): para uma transformação linear representada por uma matriz A na base ortonormal canônica do \mathbb{R}^3, ser isometria equivale a preservar produto interno ou norma para todo vetor. Matematicamente isso equivale a
A^{T}A = I,
ou seja, as colunas de A formam um conjunto ortonormal (vetores de norma 1 e mutuamente ortogonais). Então, em vez de calcular A^{T}A inteiro, é mais direto trabalhar com as colunas e impor que sejam ortonormais: cada coluna deve ter norma 1 e produtos internos entre colunas devem ser 0. Esse método é o mais direto aqui porque a matriz já está escrita por colunas simples.
Passo 3
Identificar as colunas de A=(T)_{\beta}. Denotando v_1,v_2,v_3 as colunas,
Das duas primeiras equações temos |a|=|b|=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Juntando com ab=-\dfrac{1}{2} (notar que \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} multiplicado por \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} dá \pm\dfrac{1}{2}) vemos que o produto é -\dfrac{1}{2} exatamente quando a e b têm sinais opostos. Portanto as possibilidades para (a,b,c) são: