Verifique se a matriz A=\left(\begin{array}{lll}9 & 2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 0 \\\\ 0 & 0 & 10\end{array}\right) é
é diagonalizável. Caso seja, calcule a matriz diagonal D e a matriz M que faz com que A seja semelhante à D.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}9 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 6 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 10\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Verificar se A é diagonalizável.
  • Caso seja, encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível M tais que A=M D M^{-1}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Os elementos de A estão explícitos (mostrados acima).
  • Note que A é praticamente blocada: um bloco 2\times2 na posição superior esquerda e o escalar 10 no canto inferior direito. Isso é útil para calcular autovalores.]

Passo 2

Antes de calcular, uma breve explicação do que vamos fazer (tipo-aula rápida, sem jargões):
  • Autovalores e autovetores: um vetor não-nulo v é autovetor de A associado ao autovalor \lambda se
A v = \lambda v.
Para encontrar autovalores resolvemos o polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
  • Multiplicidade algébrica: é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico.
  • Multiplicidade geométrica: é a dimensão do espaço nulo de A-\lambda I (ou seja, o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda).
  • Critério de diagonalizabilidade: A é diagonalizável se, para cada autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica de \lambda é igual à sua multiplicidade algébrica. Equivalentemente, existe uma base do espaço formada por autovetores (então montamos uma matriz M cujas colunas são esses autovetores e D é a diagonal com os autovalores correspondentes).
Agora vamos aplicar isso passo a passo ao nosso A.

Passo 3

Calcular os autovalores (polinômio característico). Observação: por causa da estrutura de A (bloco 2\times2 e o elemento 10 isolado), temos
\det(A-\lambda I)=\det\!\begin{pmatrix}9-\lambda & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 6-\lambda & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 10-\lambda\end{pmatrix} = \det\!\begin{pmatrix}9-\lambda & 2 \\[4pt] 2 & 6-\lambda\end{pmatrix}\cdot(10-\lambda).
Calculamos o determinante do bloco 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}9-\lambda & 2 \\[4pt] 2 & 6-\lambda\end{pmatrix} =(9-\lambda)(6-\lambda)-2\cdot2.
Desenvolvendo:
(9-\lambda)(6-\lambda)-4 = \lambda^2-15\lambda+54-4 = \lambda^2-15\lambda+50.
Resolver \lambda^2-15\lambda+50=0. As raízes são
\lambda=\frac{15\pm\sqrt{15^2-4\cdot50}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{225-200}}{2}=\frac{15\pm5}{2}.
Portanto as raízes são \lambda=10 e \lambda=5. Juntando o fator (10-\lambda) do elemento isolado, o polinômio característico total é
(\lambda-10)^2(\lambda-5).
Logo os autovalores são \lambda=10 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=5 com multiplicidade algébrica 1.]

Passo 4

Encontrar autovetores para \lambda=5.
Resolvemos (A-5I)x=0. Escrevendo a matriz:
A-5I=\begin{pmatrix}9-5 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 6-5 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 10-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 5\end{pmatrix}.
O sistema (A-5I)x=0 dá as equações:
4x_1+2x_2+0\cdot x_3=0,
2x_1+1x_2+0\cdot x_3=0,
5x_3=0.
Da terceira equação vem x_3=0. As duas primeiras são dependentes; por exemplo, da segunda: 2x_1+x_2=0, então x_2=-2x_1. Tomando x_1=1 obtemos um autovetor:
v^{(5)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A multiplicidade geométrica de \lambda=5 é 1 (espaço próprio gerado por esse vetor), que coincide com a multiplicidade algébrica 1.]

Passo 5

Encontrar autovetores para \lambda=10.
Resolvemos (A-10I)x=0. A matriz é
A-10I=\begin{pmatrix}9-10 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & 6-10 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 10-10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 2 & 0 \\[4pt] 2 & -4 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
As equações são
- x_1 + 2 x_2 = 0,
2 x_1 - 4 x_2 = 0,
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 = 0.
As duas primeiras são equivalentes (segunda é 2 vezes a primeira). Da primeira obtemos x_1 = 2x_2. A terceira não impõe restrição em x_3, então x_3 é livre. Assim a solução geral é
x = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3\end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o espaço próprio de \lambda=10 é gerado por dois vetores independentes, por exemplo
v^{(10)}_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v^{(10)}_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para \lambda=10 é 2, que é igual à multiplicidade algébrica 2. Isso é ótimo: para cada autovalor a multiplicidade geométrica iguala a algébrica.]

Passo 6

Concluir diagonalizabilidade e construir M e D.
Como para todos os autovalores a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica, há um conjunto de 3 autovetores linearmente independentes que formam uma base do \mathbb{R}^3. Então A é diagonalizável.
Escolhemos como colunas de M três autovetores correspondentes (a ordem das colunas determina a ordem dos autovalores na diagonal de D). Vou escolher a seguinte ordem: primeiro os vetores de \lambda=10, depois o vetor de \lambda=5. Assim tomo
M=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad\text{onde as colunas são } v^{(10)}_1,\; v^{(10)}_2,\; v^{(5)}.ã
Verificação rápida de independência linear: o determinante de M é diferente de zero (cálculo rápido):
\det(M)=5\neq 0,
logo M é invertível (portanto serve para similaridade).
A matriz diagonal D terá os autovalores na mesma ordem das colunas de M. Como as duas primeiras colunas correspondem a \lambda=10 e a terceira a \lambda=5, temos
D=\begin{pmatrix}10 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 10 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 5\end{pmatrix}.
Podemos checar curto: A v^{(10)}_1 = 10 v^{(10)}_1, A v^{(10)}_2 = 10 v^{(10)}_2, A v^{(5)}=5 v^{(5)}; então por construção A = M D M^{-1}.]

Resposta

A é diagonalizável.
D=\begin{pmatrix}10 & 0 & 0\\[4pt]0 & 10 & 0\\[4pt]0 & 0 & 5\end{pmatrix}
M=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\[4pt]1 & 0 & -2\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}

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