Considere o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) munido da base \beta=\left\{1,1-t, 1-t+t^{2}\right\}. Seja q(t) \in P_{2}(\mathbb{R}), cujas coordenadas com relação à base \beta são dadas por [q(t)]_{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right). (0,5) a) Determine a expressão desse polinômio q(t) na base \beta. (1,5) b) Seja \gamma a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}), calcule a matriz de mudança da base \beta para \gamma. (0,5) c) Se um polinômio p(t) na base \gamma é dado por p(t)=\frac{t^{2}}{2}+2 t-3, use o item b) para achar as suas coordenadas na base \beta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Foi dado o espaço P_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 2) com a base \beta=\{\,1,\;1-t,\;1-t+t^{2}\,\}.
Foi dada a coordenada de um polinômio q(t) na base \beta:[q(t)]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Perguntas:
(a) Determinar a expressão do polinômio q(t) (na forma padrão a+bt+ct^{2}).
(b) Calcular a matriz de mudança de base de \beta para a base canônica \gamma=\{1,t,t^{2}\}.
(c) Para p(t)=\dfrac{t^{2}}{2}+2t-3 (já na base canônica \gamma), encontrar suas coordenadas em \beta usando a matriz do item (b).]
Passo 2
Explicação do que significa ter coordenadas em uma base e como reconstruir o polinômio (teoria necessária, devagarzinho).
Se \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3}\} é uma base e [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{pmatrix}, então o vetor (aqui: polinômio) v év = c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}.
No nosso caso, b_{1}=1, b_{2}=1-t, b_{3}=1-t+t^{2}. Para obter q(t) basta calcular essa combinação linear com os coeficientes dados.
Passo 3
Aplicando a fórmula para reconstruir q(t) (resolvendo o item a passo a passo).
Escrever a combinação:q(t) = 1\cdot(1) + 2\cdot(1-t) + (-1)\cdot(1-t+t^{2}).
Explicação sobre matriz de mudança de base (teoria para o item b), e como construí-la de maneira prática.
A matriz de mudança de base de \beta para a base canônica \gamma=\{1,t,t^{2}\}, que chamaremos de P_{\beta\to\gamma}, satisfaz[v]_{\gamma}=P_{\beta\to\gamma}\,[v]_{\beta}\quad\text{para todo }v.
Cada coluna de P_{\beta\to\gamma} é a coordenada, na base canônica \gamma, de um vetor da base \beta. Ou seja, a primeira coluna é [b_{1}]_{\gamma}, a segunda é [b_{2}]_{\gamma}, a terceira é [b_{3}]_{\gamma}.
Aqui a base canônica representa polinômios por seus coeficientes em 1,t,t^{2}. Então basta escrever cada b_{i} como combinação de 1,t,t^{2} e colocar esses coeficientes como coluna.
Passo 5
Construção explícita da matriz P_{\beta\to\gamma} (cálculo do item b).
b_{1}=1 tem coordenadas na base canônica:[b_{1}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
b_{2}=1-t tem coordenadas:[b_{2}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
b_{3}=1-t+t^{2} tem coordenadas:[b_{3}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Denotar [p]_{\beta}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}. A equação P_{\beta\to\gamma}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=[p]_{\gamma} dá o sistema:\begin{cases} x + y + z = -3,\\[4pt] -y - z = 2,\\[4pt] z = \dfrac{1}{2}. \end{cases}