Considere o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) munido da base \beta=\left\{1,1-t, 1-t+t^{2}\right\}. Seja q(t) \in P_{2}(\mathbb{R}), cujas coordenadas com relação à base \beta são dadas por [q(t)]_{\beta}=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right).
(0,5) a) Determine a expressão desse polinômio q(t) na base \beta.
(1,5) b) Seja \gamma a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}), calcule a matriz de mudança da base \beta para \gamma.
(0,5) c) Se um polinômio p(t) na base \gamma é dado por p(t)=\frac{t^{2}}{2}+2 t-3, use o item b) para achar as suas coordenadas na base \beta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dado o espaço P_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 2) com a base \beta=\{\,1,\;1-t,\;1-t+t^{2}\,\}.
  • Foi dada a coordenada de um polinômio q(t) na base \beta: [q(t)]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a expressão do polinômio q(t) (na forma padrão a+bt+ct^{2}).
    (b) Calcular a matriz de mudança de base de \beta para a base canônica \gamma=\{1,t,t^{2}\}.
    (c) Para p(t)=\dfrac{t^{2}}{2}+2t-3 (já na base canônica \gamma), encontrar suas coordenadas em \beta usando a matriz do item (b).]

Passo 2

Explicação do que significa ter coordenadas em uma base e como reconstruir o polinômio (teoria necessária, devagarzinho).
  • Se \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3}\} é uma base e [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}c_{1}\c_{2}\c_{3}\end{pmatrix}, então o vetor (aqui: polinômio) v é v = c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}.
  • No nosso caso, b_{1}=1, b_{2}=1-t, b_{3}=1-t+t^{2}. Para obter q(t) basta calcular essa combinação linear com os coeficientes dados.

Passo 3

Aplicando a fórmula para reconstruir q(t) (resolvendo o item a passo a passo).
  • Escrever a combinação: q(t) = 1\cdot(1) + 2\cdot(1-t) + (-1)\cdot(1-t+t^{2}).
  • Expandir e agrupar termos semelhantes (constante, t, t^{2}): q(t) = 1 + 2(1-t) - (1-t+t^{2}).
q(t) = 1 + 2 - 2t - 1 + t - t^{2}.
q(t) = (1+2-1) + (-2t + t) + (-t^{2})
q(t) = 2 - t - t^{2}.
  • Conclusão do item (a): q(t)= -t^{2}-t+2.

Passo 4

Explicação sobre matriz de mudança de base (teoria para o item b), e como construí-la de maneira prática.
  • A matriz de mudança de base de \beta para a base canônica \gamma=\{1,t,t^{2}\}, que chamaremos de P_{\beta\to\gamma}, satisfaz [v]_{\gamma}=P_{\beta\to\gamma}\,[v]_{\beta}\quad\text{para todo }v.
  • Cada coluna de P_{\beta\to\gamma} é a coordenada, na base canônica \gamma, de um vetor da base \beta. Ou seja, a primeira coluna é [b_{1}]_{\gamma}, a segunda é [b_{2}]_{\gamma}, a terceira é [b_{3}]_{\gamma}.
  • Aqui a base canônica representa polinômios por seus coeficientes em 1,t,t^{2}. Então basta escrever cada b_{i} como combinação de 1,t,t^{2} e colocar esses coeficientes como coluna.

Passo 5

Construção explícita da matriz P_{\beta\to\gamma} (cálculo do item b).
  • b_{1}=1 tem coordenadas na base canônica: [b_{1}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • b_{2}=1-t tem coordenadas: [b_{2}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • b_{3}=1-t+t^{2} tem coordenadas: [b_{3}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Colocando essas colunas em ordem, obtemos P_{\beta\to\gamma}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (checar consistência usando o polinômio do item a): multiplicar a matriz pela coordenada dada e conferir o resultado em \gamma.
  • Multiplicar P_{\beta\to\gamma} por [q(t)]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix}: \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2-1\\[4pt] 0-2+1\\[4pt] 0+0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  • Isso corresponde ao polinômio 2 - t - t^{2}, exatamente o q(t) encontrado. Bom sinal — a matriz está correta.]

Passo 7

Resolver o item (c): encontrar [p(t)]_{\beta} para p(t)=\dfrac{t^{2}}{2}+2t-3. Vou montar o sistema que vem de
P_{\beta\to\gamma}\,[p]_{\beta}=[p]_{\gamma},
onde [p]_{\gamma} são os coeficientes de p na base canônica.
  • Primeiro, escrever [p]_{\gamma}. Como p(t)= -3 + 2t + \dfrac{1}{2}t^{2}, tem-se [p]_{\gamma}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]2\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Denotar [p]_{\beta}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}. A equação P_{\beta\to\gamma}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=[p]_{\gamma} dá o sistema: \begin{cases} x + y + z = -3,\\[4pt] -y - z = 2,\\[4pt] z = \dfrac{1}{2}. \end{cases}
  • Resolver por substituição: z=\tfrac{1}{2}.
-y - \tfrac{1}{2}=2 \quad\Rightarrow\quad y = -2 - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{5}{2}.
x + \Big(-\tfrac{5}{2}\Big) + \tfrac{1}{2} = -3 \quad\Rightarrow\quad x -2 = -3 \quad\Rightarrow\quad x = -1.
  • Assim [p]_{\beta}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) q(t) = -t^{2}-t+2
(b)
P_{\beta\to\gamma}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(c) [p(t)]_{\beta}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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