Considere \mathbb{R} e \mathbb{R}^{2} munidos das métricas euclidianas. Nessa situação, mostre que
(b) F=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \geq 0\right. e \left.y \geq 0\right\} é fechado em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
F = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge0\text{ e }y\ge0\}
é fechado em \mathbb{R}^2 munido da métrica euclidiana. Vamos usar o critério de que um conjunto é fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto.

Passo 2

O complementar de F em \mathbb{R}^2 é
F^c = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x<0\text{ ou }y<0\}.
Podemos escrever
F^c = U \,\cup\, V,
onde
U = \{(x,y)\mid x<0\},\quad V = \{(x,y)\mid y<0\}.
Mostramos que U é aberto (o argumento para V é análogo): seja (x_0,y_0)\in U, ou seja, x_0<0. Tome
r = -\,x_0 \;>\;0.
Se (x,y) está na bola aberta B_r((x_0,y_0)), então
|x - x_0|\le d\bigl((x,y),(x_0,y_0)\bigr) < r = -x_0,
o que implica
x = x_0 + (x - x_0) < x_0 + (-x_0) = 0.
Logo (x,y)\in U e B_r((x_0,y_0))\subset U. Assim U é aberto; do mesmo modo V é aberto. Portanto F^c, sendo união de abertos, é aberto.

Passo 3

Como o complementar de F é aberto, concluímos que F é fechado em \mathbb{R}^2.

Resposta

F é fechado em \mathbb{R}^2.

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