Considere
e
munidos das métricas euclidianas. Nessa situação, mostre que
(b)
e
é fechado em
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é fechado em
munido da métrica euclidiana. Vamos usar o critério de que um conjunto é fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto.
Passo 2
O complementar de
em
é
Podemos escrever
onde
Mostramos que
é aberto (o argumento para
é análogo): seja
, ou seja,
. Tome
Se
está na bola aberta
, então
o que implica
Logo
e
. Assim
é aberto; do mesmo modo
é aberto. Portanto
, sendo união de abertos, é aberto.
Passo 3
Como o complementar de
é aberto, concluímos que
é fechado em
.