Considere ( M, d ) um espaço métrico, F \subset M e p \in M. Suponha que para toda sequência ( x_{n} ) em F, \operatorname{com} \lim x_{n}=p, implica que p \in F. Nessas condições, mostre que F é fechado em M.

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço métrico (M,d) com um subconjunto F\subset M. Dizemos que toda sequência (x_n) em F que converge para um ponto p\in M satisfaz p\in F. O objetivo é mostrar que, sob essa hipótese, F é fechado em M. Para isso precisaremos lembrar a definição de conjunto fechado em espaço métrico e usar um argumento por contradição construindo uma sequência.

Passo 2

Em espaços métricos, um conjunto F é fechado se, e somente se, seu complementar M\setminus F for aberto. Para provar que M\setminus F é aberto, basta mostrar que todo ponto x\in M\setminus F possui uma bola aberta centrada nele que não encontra F, isto é, existe \varepsilon>0 tal que
B(x,\varepsilon)\cap F = \emptyset.

Passo 3

Suponha, para fins de contradição, que exista um x\in M\setminus F tal que nenhuma bola de raio 1/n evita F. Ou seja, para todo n\in\mathbb{N}
B\bigl(x,\tfrac1n\bigr)\cap F \neq \emptyset.
Então podemos escolher, para cada n, um ponto x_n\in F com
d\bigl(x,x_n\bigr) < \tfrac1n.
Isso define uma sequência (x_n) inteiramente contida em F.

Passo 4

Como d(x,x_n)<1/n, segue que
\lim_{n\to\infty} x_n = x.
Pelo enunciado, toda sequência em F que converge tem seu limite em F. Logo x\in F. Mas isso contradiz x\in M\setminus F. Portanto nossa suposição era falsa e existe \varepsilon>0 tal que
B(x,\varepsilon)\cap F = \emptyset.
Assim cada x\in M\setminus F tem uma vizinhança inteiramente contida em M\setminus F, provando que M\setminus F é aberto.

Resposta

F é fechado em M.

Exercícios relacionados