Considere (
) um espaço métrico,
e
. Suponha que para toda sequência (
) em
,
, implica que
. Nessas condições, mostre que
é fechado em
.
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço métrico
com um subconjunto
. Dizemos que toda sequência
em
que converge para um ponto
satisfaz
. O objetivo é mostrar que, sob essa hipótese,
é fechado em
. Para isso precisaremos lembrar a definição de conjunto fechado em espaço métrico e usar um argumento por contradição construindo uma sequência.
Passo 2
Em espaços métricos, um conjunto
é fechado se, e somente se, seu complementar
for aberto. Para provar que
é aberto, basta mostrar que todo ponto
possui uma bola aberta centrada nele que não encontra
, isto é, existe
tal que
Passo 3
Suponha, para fins de contradição, que exista um
tal que nenhuma bola de raio
evita
. Ou seja, para todo
Então podemos escolher, para cada
, um ponto
com
Isso define uma sequência
inteiramente contida em
.
Passo 4
Como
, segue que
Pelo enunciado, toda sequência em
que converge tem seu limite em
. Logo
. Mas isso contradiz
. Portanto nossa suposição era falsa e existe
tal que
Assim cada
tem uma vizinhança inteiramente contida em
, provando que
é aberto.