Considere \mathbb{R} e \mathbb{R}^{2} munidos das métricas euclidianas. Nessa situação, mostre que
(c) G=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x y=1\right\} é fechado em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
G = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\,y = 1\}
é um conjunto fechado em \mathbb{R}^2 com a métrica euclidiana. O conteúdo principal é teoria de conjuntos fechados na topologia métrica e uso de funções contínuas para caracterizar fechados.

Passo 2

Definimos a função de multiplicação
m \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad m(x,y) = x\,y.
Sabemos que as projeções (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas, e o produto de funções contínuas também é contínuo. Logo, m é contínua em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Note que
G = m^{-1}(\{1\}),
pois (x,y) está em G se, e somente se, m(x,y)=1.

Passo 4

O singleton \{1\} é fechado em \mathbb{R} (qualquer conjunto de um único ponto é fechado). Pela propriedade de funções contínuas, o pré-imagem de um conjunto fechado é fechado. Portanto,
G = m^{-1}(\{1\})
é fechado em \mathbb{R}^2.

Resposta

G é fechado em \mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados