Considere
e
munidos das métricas euclidianas. Nessa situação, mostre que
(c)
é fechado em
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um conjunto fechado em
com a métrica euclidiana. O conteúdo principal é teoria de conjuntos fechados na topologia métrica e uso de funções contínuas para caracterizar fechados.
Passo 2
Definimos a função de multiplicação
Sabemos que as projeções
e
são contínuas, e o produto de funções contínuas também é contínuo. Logo,
é contínua em todo
.
Passo 3
Note que
pois
está em
se, e somente se,
.
Passo 4
O singleton
é fechado em
(qualquer conjunto de um único ponto é fechado). Pela propriedade de funções contínuas, o pré-imagem de um conjunto fechado é fechado. Portanto,
é fechado em
.