Considere \mathbb{R} e \mathbb{R}^{2} munidos das métricas euclidianas. Nessa situação, mostre que
(a) \mathbb{Z} é fechado em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos inteiros \mathbb{Z} é fechado em \mathbb{R} munido da métrica euclidiana.
Conteúdo usado: definição de conjunto fechado via abertura do seu complemento. Vamos mostrar que \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} é aberto, construindo, para cada x\notin\mathbb{Z}, uma bola aberta centrada em x que não atinge nenhum inteiro.

Passo 2

Seja x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}. Então x não é inteiro, logo existem inteiros k e k+1 tais que
k < x < k+1.
Defina
\delta \;=\;\min\bigl(x-k,\,(k+1)-x\bigr).
Como k<x<k+1, cada uma das quantidades x-k e (k+1)-x é estritamente positiva, então \delta>0.

Passo 3

Mostramos que a bola aberta B(x,\delta)=\{y\in\mathbb{R}:|y-x|<\delta\} não contém inteiros. De fato, se houvesse um inteiro m\in B(x,\delta), teríamos
|m-x|<\delta\le |k-x| \quad\text{e}\quad |m-x|<\delta\le|(k+1)-x|.
Mas m inteiro implica |m-x|\ge\min(x-k,(k+1)-x)=\delta, contradizendo |m-x|<\delta. Portanto B(x,\delta)\subset\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}.

Passo 4

Como para todo x\notin\mathbb{Z} existe uma bola aberta ao redor de x contida em \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}, concluímos que \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} é aberto. Logo, \mathbb{Z} é fechado em \mathbb{R}.

Resposta

\mathbb{Z} é fechado em \mathbb{R}.

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