Considere
e
munidos das métricas euclidianas. Nessa situação, mostre que
(a)
é fechado em
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos inteiros
é fechado em
munido da métrica euclidiana.
Conteúdo usado: definição de conjunto fechado via abertura do seu complemento. Vamos mostrar que é aberto, construindo, para cada
, uma bola aberta centrada em
que não atinge nenhum inteiro.
Conteúdo usado: definição de conjunto fechado via abertura do seu complemento. Vamos mostrar que
Passo 2
Seja
. Então
não é inteiro, logo existem inteiros
e
tais que
Defina
Como
, cada uma das quantidades
e
é estritamente positiva, então
.
Passo 3
Mostramos que a bola aberta
não contém inteiros. De fato, se houvesse um inteiro
, teríamos
Mas
inteiro implica
, contradizendo
. Portanto
.
Passo 4
Como para todo
existe uma bola aberta ao redor de
contida em
, concluímos que
é aberto. Logo,
é fechado em
.