Considere em \wp_{2}(\mathbb{R}) o produto interno definido por \langle\mathrm{u}, \mathrm{v}\rangle=\mathrm{a}_{0} \mathrm{~b}_{0}+\mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{a}_{2} \mathrm{~b}_{2}, onde u=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} e v=b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2} são vetores quaisquer de \wp_{2}(\mathbb{R}). Calcule o ângulo entre p e q, onde p=3-x+x^{2} e q=2+5 x^{2}.

Passo 1

O enunciado nos traz o espaço \wp_{2}(\mathbb{R}) com produto interno
\langle u,v\rangle = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}
em que
u = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}, \quad v = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2}.
Precisamos calcular o ângulo \theta entre
p = 3 - x + x^{2} \quad\text{e}\quad q = 2 + 5x^{2}
usando a fórmula
\cos\theta = \frac{\langle p,q\rangle}{\|p\|\;\|q\|},
junto com a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Extraímos os coeficientes:
p\mapsto (a_{0},a_{1},a_{2}) = (3,\,-1,\,1), \quad q\mapsto (b_{0},b_{1},b_{2}) = (2,\,0,\,5).
Então
\langle p,q\rangle = 3\cdot2 + (-1)\cdot0 + 1\cdot5 = 6 + 0 + 5 = 11.

Passo 3

Calculamos as normas via \|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}:
\|p\| = \sqrt{3^{2} + (-1)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11},
\|q\| = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}.

Passo 4

Aplicando a definição de ângulo,
\cos\theta = \frac{\langle p,q\rangle}{\|p\|\;\|q\|} = \frac{11}{\sqrt{11}\,\sqrt{29}} = \frac{11}{\sqrt{319}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{11}{\sqrt{319}}\biggr).

Passo 5

Se for útil, aproximamos em graus:
\frac{11}{\sqrt{319}}\approx0{,}6155 \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx 52^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{11}{\sqrt{319}}\biggr).

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