Considere em \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o produto interno definido por <\mathrm{u}, \mathrm{v}>=\operatorname{tr}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{t}} \mathrm{v}\right), onde \mathrm{u}, \mathrm{v} \in \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Em cada item, calcule \|\mathrm{A}\| :
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}-2 & 5 \\\\ 3 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço M_{2\times2}(\mathbb{R}) com produto interno
\langle u,v\rangle = \mathrm{tr}(u^t v),
e pede a norma de
A = \begin{pmatrix}-2 & 5 \\\\ 3 & 6\end{pmatrix}.
Sabemos que a norma induzida é
\|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle} = \sqrt{\mathrm{tr}(A^t A)}.

Passo 2

Calculamos primeiro
A^t = \begin{pmatrix}-2 & 3 \\[6pt] 5 & 6\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad A^tA = \begin{pmatrix} (-2)^2 + 3^2 & (-2)\cdot5 + 3\cdot6 \\[6pt] 5\cdot(-2) + 6\cdot3 & 5^2 + 6^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13 & 8 \\[4pt] 8 & 61\end{pmatrix}.
Portanto
\mathrm{tr}(A^tA) = 13 + 61 = 74.]

Passo 3

Substituindo no cálculo da norma, obtemos
\|A\| = \sqrt{74}.

Resposta

\sqrt{74}

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