Considere em \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) o produto interno definido por <\mathrm{u}, \mathrm{v}>=\operatorname{tr}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{t}} \mathrm{v}\right), onde \mathrm{u}, \mathrm{v} \in \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}). Em cada item, calcule \|\mathrm{A}\| :
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle u,v\rangle = \mathrm{tr}(u^t v).
Pede-se calcular a norma de
A = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 2

A norma induzida por esse produto interno é
\|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle}.
Calculando
\langle A,A\rangle = \mathrm{tr}(A^t A)
como A^t A é a matriz nula, tem-se
\mathrm{tr}(A^t A)=0,
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\|A\| = \sqrt{0} = 0.

Resposta

\|A\| = 0

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