Suponha que u , v e w são vetores tais que <\mathrm{u}, \mathrm{v}>=2,<\mathrm{v}, \mathrm{w}>=-3,<\mathrm{u}, \mathrm{w}>=5, (|\mathrm{u}|=1), (|\mathrm{v}|=2), (|\mathrm{w}|=7). Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
\|2 w-v\|

Passo 1

O enunciado dá três vetores u,v,w em um espaço com produto interno, com as seguintes informações: \langle u,v\rangle=2, \langle v,w\rangle=-3, \langle u,w\rangle=5, \|u\|=1, \|v\|=2, \|w\|=7.
Queremos calcular a norma do vetor 2w - v. Para isso, vamos usar a propriedade fundamental
\|x\|^2 = \langle x,x\rangle
e a bilinearidade do produto interno.

Passo 2

Identificamos os produtos internos que vamos precisar: \langle w,w\rangle = \|w\|^2 = 7^2 = 49, \langle v,v\rangle = \|v\|^2 = 2^2 = 4, \langle w,v\rangle = \langle v,w\rangle = -3.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da norma ao vetor 2w - v:
\|2w - v\|^2 = \langle 2w - v,\,2w - v\rangle = 4\,\langle w,w\rangle -4\,\langle w,v\rangle + \langle v,v\rangle.
Substituindo os valores numéricos:
\|2w - v\|^2 = 4\cdot 49 \;-\;4\cdot(-3)\;+\;4 = 196 + 12 + 4 = 212.

Passo 4

Para obter a norma, tiramos a raiz quadrada:
\|2w - v\| = \sqrt{212} = 2\sqrt{53}.

Resposta

\|2w - v\| = 2\sqrt{53}.

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