EXEMPL03 Descreva e esboce a superfície em
representada pela equação
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em
dada pela equação
Este é um exercício de geometria analítica de superfícies, em que vamos interpretar a equação implícita e encontrar uma representação paramétrica e uma descrição geométrica do conjunto de pontos que a satisfazem.
Passo 2
Para ver que tipo de superfície é, consideramos a função
A condição
define uma superfície. O vetor normal a essa superfície é
pois
. Isso indica que a superfície é um plano cujo vetor normal está no plano
e não tem componente
.
Passo 3
Do vetor normal
podemos extrair dois vetores diretores que geram o plano:
um vetor paralelo à reta no plano
, por exemplo
um vetor paralelo à reta
e um vetor paralelo ao eixo
, por exemplo
Assim, uma forma paramétrica para o plano é
onde
. Isso mostra que
e
é livre.
Passo 4
Geometricamente, trata-se do plano que contém a reta de interseção do plano
com a bissetriz
e se estende paralelamente ao eixo
. Em outras palavras, é a bissetriz do ângulo formado pelos eixos
e
, “levantada” ao longo de
.
Passo 5
Para esboçar esse plano em
, faça o seguinte:
- Desenhe o plano
. - Trace a reta
nesse plano. - Em cada ponto dessa reta, desenhe uma reta paralela ao eixo
.
O conjunto dessas retas paralelas forma o plano.
Resposta
A superfície é o plano em
dado por
que pode ser descrito parametricamente por
isto é, a bissetriz do ângulo entre os eixos
e
, estendida paralelamente ao eixo
.