EXEMPL03 Descreva e esboce a superfície em \mathbb{R}^{3} representada pela equação y=x.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar a superfície em \mathbb{R}^3 dada pela equação
y = x.
Este é um exercício de geometria analítica de superfícies, em que vamos interpretar a equação implícita e encontrar uma representação paramétrica e uma descrição geométrica do conjunto de pontos que a satisfazem.

Passo 2

Para ver que tipo de superfície é, consideramos a função
f(x,y,z)=y - x.
A condição f(x,y,z)=0 define uma superfície. O vetor normal a essa superfície é
\nabla f = \bigl(-1,\,1,\,0\bigr),
pois \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z)=(-1,1,0). Isso indica que a superfície é um plano cujo vetor normal está no plano xy e não tem componente z.

Passo 3

Do vetor normal \nabla f=(-1,1,0) podemos extrair dois vetores diretores que geram o plano:
um vetor paralelo à reta y=x no plano xy, por exemplo
v_1=(1,1,0),
e um vetor paralelo ao eixo z, por exemplo
v_2=(0,0,1).
Assim, uma forma paramétrica para o plano é
\mathbf{r}(u,v) = (u,u,v),
onde u,v\in\mathbb{R}. Isso mostra que y=u=x e z=v é livre.

Passo 4

Geometricamente, trata-se do plano que contém a reta de interseção do plano xy com a bissetriz y=x e se estende paralelamente ao eixo z. Em outras palavras, é a bissetriz do ângulo formado pelos eixos x e y, “levantada” ao longo de z.

Passo 5

Para esboçar esse plano em \mathbb{R}^3, faça o seguinte:
  1. Desenhe o plano xy.
  2. Trace a reta y=x nesse plano.
  3. Em cada ponto dessa reta, desenhe uma reta paralela ao eixo z.
    O conjunto dessas retas paralelas forma o plano y=x.

Resposta

A superfície é o plano em \mathbb{R}^3 dado por
y = x,
que pode ser descrito parametricamente por
\mathbf{r}(u,v)=(u,u,v),\quad u,v\in\mathbb{R},
isto é, a bissetriz do ângulo entre os eixos x e y, estendida paralelamente ao eixo z.

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