EXEMPLO 2

(a) Quais os pontos (x, y, z) satisfazem as equações
x^{2}+y^{2}=1 \quad \text { e } \quad z=3
(b) O que a equação x^{2}+y^{2}=1 representa como uma superfície em \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em geometria de superfícies em \mathbb{R}^3:
– (a) encontrar todos os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente
x^{2}+y^{2}=1 \quad\text{e}\quad z=3,
– (b) descrever o que a equação
x^{2}+y^{2}=1
representa como superfície em \mathbb{R}^3.
Para isso vamos interpretar geometricamente a curva no plano xy e sua extensão em z.

Passo 2

A condição z=3 fixa a altura numa única camada paralela ao plano xy. Juntando com x^{2}+y^{2}=1, vemos que os pontos projetados no plano xy formam o círculo unitário. Assim, em \mathbb{R}^3 a solução é
\{(x,y,3)\mid x^{2}+y^{2}=1\},
ou seja, um círculo de raio 1 contido no plano horizontal z=3.

Passo 3

A equação x^{2}+y^{2}=1 sem restrição em z significa “todo ponto cuja projeção no plano xy está a distância 1 da origem”. Geometricamente isso é um cilindro circular reto de raio 1, cujo eixo é o eixo z e que se estende infinitamente para cima e para baixo.

Resposta

(a) \{(x,y,3)\mid x^{2}+y^{2}=1\}.
(b) Um cilindro circular reto de raio 1 com eixo paralelo ao eixo z.

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