3. ( 24 pontos)

(a) Determine se a seguinte sequência converge ou diverge.
\ln \left(2 n^{2}-1\right)-\ln \left(n^{2}+1\right)
Caso convirja, calcule seu limite.
(b) Considere a seguinte sequência definida por
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=4-a_{n}, \text { para } n \geq 1 .
(i) Ela é monótona? Justifique.
(ii) É convergente?

Passo 1

O enunciado pede que a gente analise duas sequências. Na parte (a) temos
b_n = \ln\bigl(2n^{2}-1\bigr)\;-\;\ln\bigl(n^{2}+1\bigr)
e precisamos verificar se (b_n) converge e, em caso afirmativo, achar seu limite. Na parte (b) definem
a_{1}=1,\quad a_{n+1}=4 - a_{n}
e precisamos estudar se (a_n) é monótona e se converge. Usaremos propriedades de logaritmos e limites no item (a) e conceito de monotonicidade e subsequências no item (b).

Passo 2

Usamos a propriedade dos logaritmos
\ln x - \ln y = \ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)
para reescrever
b_n = \ln\!\bigl(2n^{2}-1\bigr)\;-\;\ln\!\bigl(n^{2}+1\bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{2n^{2}-1}{\,n^{2}+1}\Bigr).

Passo 3

Para calcular \lim_{n\to\infty}b_n, observe que
\frac{2n^{2}-1}{n^{2}+1} = \frac{n^{2}\bigl(2 - \tfrac1{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(1 + \tfrac1{n^{2}}\bigr)} = \frac{2 - 1/n^{2}}{1 + 1/n^{2}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;2.

Passo 4

Como o logaritmo natural é contínuo em (0,\infty), podemos passar o limite para dentro:
\lim_{n\to\infty}b_n = \ln\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}-1}{n^{2}+1}\Bigr) = \ln(2).
Logo (b_n) converge e seu limite é \ln2.

Passo 5

Agora, na parte (b), vamos calcular os primeiros termos para visualizar o padrão:
a_{1}=1,\quad a_{2}=4 - a_{1}=3,\quad a_{3}=4 - a_{2}=1,\quad a_{4}=4 - a_{3}=3,\;\dots
Portanto a sequência é (1,3,1,3,\dots), alternando entre 1 e 3.

Passo 6

Para ser monótona, a sequência teria que ser sempre crescente ou sempre decrescente. Aqui vemos que
a_{2}=3 > 1 = a_{1} \quad\text{e em seguida}\quad a_{3}=1 < 3 = a_{2},
ou seja, sobe e depois desce. Logo (a_n) não é monótona.

Passo 7

Uma sequência converge se todos os seus termos se aproximam de um mesmo valor. Aqui os termos de índice ímpar formam a subsequência (1,1,1,\dots) cujo limite é 1 e os de índice par formam (3,3,3,\dots) cujo limite é 3. Como há dois limites distintos, a sequência não converge (ela diverge oscilando).

Resposta

(a) A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\bigl[\ln(2n^{2}-1)-\ln(n^{2}+1)\bigr] = \ln(2).
(b)(i) (a_n) não é monótona.
(b)(ii) (a_n) não converge (oscila entre 1 e 3).

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