Num espaço vetorial V com produto interno, provar que:
(a) u \neq 0, v \neq 0,\langle u, v\rangle=0 \Rightarrow u e v são LI.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e vetores u\neq 0 e v\neq 0 tais que \langle u,v\rangle=0. Ele pede para mostrar que u e v são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: o conjunto \{u,v\} é LI se, da igualdade
\alpha\,u + \beta\,v = 0,
seguirem-se \alpha=0 e \beta=0 como única solução.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\,u + \beta\,v = 0.
Fazendo o produto interno dessa igualdade com u obtemos
\langle \alpha\,u + \beta\,v,\;u\rangle = \alpha\,\langle u,u\rangle + \beta\,\langle v,u\rangle = \alpha\,\|u\|^2 + \beta\cdot 0 = 0.
Como \|u\|^2>0, segue \alpha=0. Analogamente, tomando o produto interno com v,
\langle \alpha\,u + \beta\,v,\;v\rangle = \alpha\,\langle u,v\rangle + \beta\,\langle v,v\rangle = 0 + \beta\,\|v\|^2 = 0
implica \beta=0. Logo, a única combinação linear que gera o vetor zero é trivial.

Resposta

Os vetores u e v são linearmente independentes.

Exercícios relacionados