Considere f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} cuja matriz associada à base canônica é
[f]=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) .
Indique dois vetores v, u \in \mathbb{R}^{3} tais que f(v, u) \neq f(u, v).

Passo 1

O enunciado pede que eu indique dois vetores v,u\in\mathbb{R}^3 tais que f(v,u)\neq f(u,v).
A informação dada é a matriz da forma bilinear f na base canônica:
[f]=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 2

Primeiro, vou explicar claramente como usar essa matriz para calcular f(x,y). Se A é a matriz associada a f na base canônica e x,y\in\mathbb{R}^3 são escritos como vetores coluna
x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}y_1\y_2\y_3\end{pmatrix},
então a forma bilinear avaliada em (x,y) é dada por
f(x,y)=x^{T}Ay.
Aqui x^{T} é a transposta de x (uma fila), A é a matriz 3\times3 e y é coluna; o produto resulta em um escalar.

Passo 3

Vou escrever a regra em coordenadas para ficar ainda mais claro. Se A=(a_{ij}) com i linha e j coluna, então
f(x,y)=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} x_i\,a_{ij}\,y_j.
Isso significa que o valor de f em vetores da base canônica e_i e e_j é exatamente a entrada a_{ij}:
f(e_i,e_j)=a_{ij}.
Logo, comparar f(e_i,e_j) com f(e_j,e_i) é comparar a_{ij} com a_{ji}.

Passo 4

Vou verificar se a matriz A=[f] é simétrica ou não, porque se fosse simétrica teríamos f(v,u)=f(u,v) para todos u,v. Da matriz dada, tomo os elementos
a_{12}=-1,\qquad a_{21}=1.
Como a_{12}\neq a_{21}, a matriz não é simétrica. Portanto existem necessariamente vetores u,v tais que f(u,v)\neq f(v,u).

Passo 5

A escolha mais simples é usar vetores da base canônica que evidenciem essa assimetria. Tomo
e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Vou definir v=e_1 e u=e_2 (ou vice‑versa); em seguida calculo f(v,u) e f(u,v) passo a passo.

Passo 6

Calculo f(v,u)=f(e_1,e_2). Usando f(e_i,e_j)=a_{ij}, obtemos diretamente
f(e_1,e_2)=a_{12}=-1.
Se preferir ver como isso sai multiplicando matrizes:
A e_2=\text{segunda coluna de }A=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
e_1^{T}(A e_2)=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}=-1.

Passo 7

Agora calculo f(u,v)=f(e_2,e_1). Pelo mesmo raciocínio,
f(e_2,e_1)=a_{21}=1.
Em multiplicação de matrizes:
A e_1=\text{primeira coluna de }A=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
e_2^{T}(A e_1)=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=1.

Passo 8

Concluo que, com v=e_1 e u=e_2,
f(v,u)= -1\neq 1 = f(u,v).
Pronto — encontramos dois vetores que satisfazem a condição pedida. Você pode usar sempre pares de vetores da base correspondentes a entradas a_{ij} e a_{ji} diferentes para produzir outros exemplos.

Resposta

v=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\; u=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}

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