Seja
tal que
. Indique a forma quadrática associada.
Passo 1
O enunciado dá a forma bilinear
definida por
A pergunta é: indicar a forma quadrática associada a
.
Informações relevantes: a fórmula explícita de (já escrita acima) e que a forma quadrática associada é, em geral, obtida avaliando a forma bilinear nas duas entradas iguais.
Informações relevantes: a fórmula explícita de
Passo 2
Definição prática que precisamos usar: a forma quadrática associada a uma forma bilinear
é a função
dada por
para todo
. Ou seja, pegamos o mesmo vetor nas duas entradas de
. Isso é direto e é o que usamos para obter a resposta na prova.
Passo 3
Agora aplicamos a definição usando
. Substituímos
na expressão de
:
Calculemos os produtos:
e
. Portanto
Passo 4
Uma forma alternativa útil em provas: representar
por uma matriz
na base canônica. Se escrevemos vetores coluna
e
e queremos
, então os coeficientes vêm comparando termos:
Com essa matriz a forma quadrática é
mesma resposta, e esse caminho é útil quando aparecem termos mistos (como
).]
Passo 5
Pequena interpretação para você fixar: a forma quadrática
é indefinida, pois toma valores positivos e negativos (por exemplo, para
dá
e para
dá
). Exemplo numérico rápido: para
,
Isso ajuda a entender o comportamento da forma.