Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} tal que f((x, y),(z, t))=3 x z-y t. Indique a forma quadrática associada.

Passo 1

O enunciado dá a forma bilinear f:\mathbb{R}^{2}\times\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
f\big((x,y),(z,t)\big)=3xz-yt.
A pergunta é: indicar a forma quadrática associada a f.
Informações relevantes: a fórmula explícita de f (já escrita acima) e que a forma quadrática associada é, em geral, obtida avaliando a forma bilinear nas duas entradas iguais.

Passo 2

Definição prática que precisamos usar: a forma quadrática associada a uma forma bilinear f é a função q:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por
q(v)=f(v,v)
para todo v\in\mathbb{R}^{2}. Ou seja, pegamos o mesmo vetor nas duas entradas de f. Isso é direto e é o que usamos para obter a resposta na prova.

Passo 3

Agora aplicamos a definição usando v=(x,y). Substituímos (z,t)=(x,y) na expressão de f:
q\big((x,y)\big)=f\big((x,y),(x,y)\big)=3x\cdot x - y\cdot y.
Calculemos os produtos: 3x\cdot x=3x^{2} e y\cdot y=y^{2}. Portanto
q\big((x,y)\big)=3x^{2}-y^{2}.

Passo 4

Uma forma alternativa útil em provas: representar f por uma matriz A na base canônica. Se escrevemos vetores coluna v=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} e w=\begin{pmatrix}z\\[4pt]t\end{pmatrix} e queremos f(v,w)=v^{T}Aw, então os coeficientes vêm comparando termos:
A=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Com essa matriz a forma quadrática é
q(v)=v^{T}Av= \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=3x^{2}-y^{2},
mesma resposta, e esse caminho é útil quando aparecem termos mistos (como xy).]

Passo 5

Pequena interpretação para você fixar: a forma quadrática q((x,y))=3x^{2}-y^{2} é indefinida, pois toma valores positivos e negativos (por exemplo, para (x,y)=(1,0) 3 e para (x,y)=(0,1) -1). Exemplo numérico rápido: para (x,y)=(2,1),
q((2,1))=3\cdot 2^{2}-1^{2}=12-1=11.
Isso ajuda a entender o comportamento da forma.

Resposta

q\big((x,y)\big)=3x^{2}-y^{2}

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