Determine \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b} para que o operador \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}+(2 \mathrm{a}-\mathrm{b}) \mathrm{z}, (a+b) x+3 y,-x+5) seja simétrico:
Passo 1
O enunciado pede: determinar \,a e \,b para que o operador linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
seja simétrico.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes diante de x,y,z em cada componente do vetor imagem são os elementos da matriz de \mathrm{T} na base canónica; isto é, a primeira componente fornece a primeira linha da matriz, a segunda componente a segunda linha, e a terceira componente a terceira linha. (Observei que a terceira componente foi interpretada aqui como -x+5z para que \mathrm{T} seja linear; se fosse -x+5 seria uma transformação afim não linear.)
Passo 2
Representação matricial de \mathrm{T} na base canónica: cada entrada a_{ij} da matriz é o coeficiente do j-ésimo coordenado da variável de entrada na i-ésima componente da saída. Logo a matriz A de \mathrm{T} é
Expliquei: por exemplo, na primeira componente 2x+4y+(2a-b)z os coeficientes de x,y,z são 2,4,2a-b e formam a primeira linha da matriz.]
Passo 3
Definição útil (aula rápida): um operador (linear) em \mathbb{R}^3 é simétrico relativamente ao produto interno padrão quando a sua matriz na base canónica é igual à sua transposta. Ou seja, \mathrm{T} é simétrico sse
A = A^{T}.
Isso significa, na prática, que os elementos simétricos em relação à diagonal principal são iguais: a_{12}=a_{21}, a_{13}=a_{31}, a_{23}=a_{32}. Vou usar exatamente essas igualdades.
Passo 4
Escrevendo as igualdades que decorrem de A=A^{T}:
Da igualdade entre posição (1,2) e (2,1) vem
4 = a+b.
Da igualdade entre posição (1,3) e (3,1) vem
2a-b = -1.
Da igualdade entre posição (2,3) e (3,2) vem
0 = 0,
que já é satisfeita automaticamente. Assim obtemos o sistema linear de duas equações em \,a e \,b:
\begin{cases} a+b = 4,\\[4pt] 2a - b = -1. \end{cases}]
Passo 5
Resolvendo o sistema passo a passo. Da primeira equação isolo b: