Considere
,
Determine
para que a função seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
A tarefa é: determinar o (real) valor de
, vou usar
) para que
seja contínua em
.
Informações importantes que temos:
- Para pontos diferentes de
a função vale . - No ponto
a função é definida como . - A continuidade em
exige que o limite de quando exista e seja igual a .]
Passo 2
Recordando a definição que vamos usar (passo-a-passo): uma função
é contínua em
se, e somente se,
Portanto precisamos calcular
e igualar esse limite a
.
Passo 3
Para calcular o limite, faço uma mudança útil: defina
Quando
temos
(isto é,
e tende a zero). A expressão fora da origem é
. Vou analisar o comportamento de
quando
.
Passo 4
Uso a desigualdade conhecida para o cosseno: para todo real
vale
. Multiplicando por
obtemos a desigualdade em torno da função:
Isto vale para
(ou seja, para
).
Passo 5
Aplico o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Como
pela desigualdade do passo anterior segue que
Voltando às variáveis
, isto significa
Passo 6
Para que
seja contínua em
precisamos ter
Logo
. Agora resolvo essa equação em
: para
temos
, então
. Portanto não existe
que satisfaça
.
Passo 7
Conclusão final e comentário tranquilizador: não há nenhum valor real de
que torne
contínua em
. (Se permitíssemos
complexo, as soluções seriam
, mas o enunciado define
, então
deve ser real e buscamos
real.)
Resposta
Não existe
tal que
seja contínua em
.