Considere l: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc} \left(x^{2}+y^{2}\right), \cos \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right),(x, y) \neq(0,0) \\\ k^{2}+1, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Determine K para que a função seja contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)=\begin{cases} (x^{2}+y^{2})\cos\!\biggl(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\biggr), & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] k^{2}+1, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
A tarefa é: determinar o (real) valor de K\] (o enunciado escreveu \(k, vou usar K) para que f seja contínua em (0,0).
Informações importantes que temos:
  • Para pontos diferentes de (0,0) a função vale (x^{2}+y^{2})\cos\bigl(1/(x^{2}+y^{2})\bigr).
  • No ponto (0,0) a função é definida como f(0,0)=K^{2}+1.
  • A continuidade em (0,0) exige que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) exista e seja igual a f(0,0)=K^{2}+1.]

Passo 2

Recordando a definição que vamos usar (passo-a-passo): uma função f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Portanto precisamos calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2})\cos\!\biggl(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\biggr) e igualar esse limite a K^{2}+1.

Passo 3

Para calcular o limite, faço uma mudança útil: defina
t=x^{2}+y^{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) temos t\to 0^{+} (isto é, t\ge 0 e tende a zero). A expressão fora da origem é t\cos\!\bigl(1/t\bigr). Vou analisar o comportamento de t\cos(1/t) quando t\to 0^{+}.

Passo 4

Uso a desigualdade conhecida para o cosseno: para todo real u vale -1\le\cos u\le 1. Multiplicando por t\ge 0 obtemos a desigualdade em torno da função:
-t \le t\cos\!\biggl(\dfrac{1}{t}\biggr)\le t.
Isto vale para t>0 (ou seja, para (x,y)\neq(0,0)).

Passo 5

Aplico o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Como
\lim_{t\to 0^{+}} (-t)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{t\to 0^{+}} t=0,
pela desigualdade do passo anterior segue que
\lim_{t\to 0^{+}} t\cos\!\biggl(\dfrac{1}{t}\biggr)=0.
Voltando às variáveis x,y, isto significa
\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^{2}+y^{2})\cos\!\biggl(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\biggr)=0.

Passo 6

Para que f seja contínua em (0,0) precisamos ter
f(0,0)=K^{2}+1=\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Logo K^{2}+1=0. Agora resolvo essa equação em \mathbb{R}: para K\in\mathbb{R} temos K^{2}\ge 0, então K^{2}+1\ge 1>0. Portanto não existe K\in\mathbb{R} que satisfaça K^{2}+1=0.

Passo 7

Conclusão final e comentário tranquilizador: não há nenhum valor real de K que torne f contínua em (0,0). (Se permitíssemos K complexo, as soluções seriam K=\pm i, mas o enunciado define f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, então f(0,0) deve ser real e buscamos K real.)

Resposta

Não existe K\in\mathbb{R} tal que f seja contínua em (0,0).

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