Determine o limite:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{3}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando (x,y)\to(0,0) da função
\frac{x y}{x^{3}+y^{4}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x y}{x^{3}+y^{4}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • Pergunta: existe um número real L tal que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x y}{x^{3}+y^{4}}=L? Se sim, qual é L; se não, devemos justificar por que não existe (por exemplo mostrando comportamentos diferentes por diferentes caminhos).

Passo 2

Conceito rápido (em linguagem simples): para que o limite de uma função de duas variáveis exista em (0,0) e valha L, o valor da função ao aproximar (x,y) de (0,0) por quaisquer caminhos deve tender ao mesmo número L. Uma estratégia comum para provar que o limite não existe é mostrar dois caminhos que levam a valores diferentes (ou um caminho que dá 0 e outro que diverge para infinito). Vou usar essa estratégia: encontrar dois caminhos que deem comportamentos distintos.

Passo 3

Primeiro caminho: tomar x em função de y como
x = y^{4}.
Esse caminho leva (x,y) a (0,0) quando y\to 0. Substituindo na função:
\frac{x y}{x^{3}+y^{4}}=\frac{y^{4}\cdot y}{(y^{4})^{3}+y^{4}}=\frac{y^{5}}{y^{12}+y^{4}}.
Fatorando y^{4} no denominador,
\frac{y^{5}}{y^{4}(y^{8}+1)}=\frac{y}{y^{8}+1}.
Quando y\to 0 temos y^{8}\to 0, então
\frac{y}{y^{8}+1}\longrightarrow 0.
Portanto, ao longo do caminho x=y^{4} o valor da função tende a 0.

Passo 4

Segundo caminho: tomar y em função de x como
y = x^{3/4},
e considerar x\to 0^{+} (assim y\to 0^{+} também). Substituindo:
\frac{x y}{x^{3}+y^{4}}=\frac{x\cdot x^{3/4}}{x^{3}+(x^{3/4})^{4}}=\frac{x^{7/4}}{x^{3}+x^{3}}.
Repare que (x^{3/4})^{4}=x^{3}. Assim o denominador é 2x^{3} (para x>0), então
\frac{x^{7/4}}{2x^{3}}=\frac{1}{2}x^{7/4-3}=\frac{1}{2}x^{-5/4}.
Como o expoente -5/4 é negativo, quando x\to 0^{+} este termo tende a +\infty:
\frac{1}{2}x^{-5/4}\longrightarrow +\infty.
Logo, ao longo do caminho y=x^{3/4} com x\to 0^{+}, a função diverge para +\infty.

Passo 5

Interpretação e conclusão: encontramos dois comportamentos distintos ao aproximar (0,0):
  • pelo caminho x=y^{4} a função tende a 0;
  • pelo caminho y=x^{3/4} (com x\to 0^{+}) a função tende a +\infty (ou seja, diverge).
Se o limite existisse e fosse um número finito L, então todas as aproximações por quaisquer caminhos deveriam tender a L. Como achamos um caminho que dá 0 e outro que diverge para +\infty, o limite não pode existir (nem finito nem infinito de forma consistente).

Resposta

O limite não existe.

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