Determine o limite:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
da função
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Pergunta: existe um número real
tal que ? Se sim, qual é ; se não, devemos justificar por que não existe (por exemplo mostrando comportamentos diferentes por diferentes caminhos).
Passo 2
Conceito rápido (em linguagem simples): para que o limite de uma função de duas variáveis exista em
e valha
, o valor da função ao aproximar
de
por quaisquer caminhos deve tender ao mesmo número
. Uma estratégia comum para provar que o limite não existe é mostrar dois caminhos que levam a valores diferentes (ou um caminho que dá
e outro que diverge para infinito). Vou usar essa estratégia: encontrar dois caminhos que deem comportamentos distintos.
Passo 3
Primeiro caminho: tomar
em função de
como
Esse caminho leva
a
quando
. Substituindo na função:
Fatorando
no denominador,
Quando
temos
, então
Portanto, ao longo do caminho
o valor da função tende a
.
Passo 4
Segundo caminho: tomar
em função de
como
e considerar
(assim
também). Substituindo:
Repare que
. Assim o denominador é
(para
), então
Como o expoente
é negativo, quando
este termo tende a
:
Logo, ao longo do caminho
com
, a função diverge para
.
Passo 5
Interpretação e conclusão: encontramos dois comportamentos distintos ao aproximar
:
- pelo caminho
a função tende a ; - pelo caminho
(com ) a função tende a (ou seja, diverge).
Se o limite existisse e fosse um número finito
, então todas as aproximações por quaisquer caminhos deveriam tender a
. Como achamos um caminho que dá
e outro que diverge para
, o limite não pode existir (nem finito nem infinito de forma consistente).
Resposta
O limite não existe.