Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais:
W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\},
W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de:
W_{4}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W_{4} = [(1,0,0),\,(1,1,1)]\subset\mathbb{R}^{3}.
O conteúdo é subespaço vetorial e geração por combinações lineares: queremos um conjunto de vetores cujo span seja exatamente W_{4}.

Passo 2

Por definição W_{4}=\operatorname{Span}\{(1,0,0),\,(1,1,1)\}. Logo, os próprios vetores dados já geram W_{4}. Alternativamente, notando que
(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1),
uma base mais “canônica” seria \{(1,0,0),\,(0,1,1)\}, mas não é obrigatório.

Resposta

Um conjunto de geradores de W_{4} é
\{(1,0,0),\,(1,1,1)\}.

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