Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais:
W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\},
W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de:
W_{1} \cap W_{2}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores de W_{1}\cap W_{2}, onde W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y=0\} e W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+z=0\text{ e }x-2y=0\}.
O conteúdo aqui é interseção de subespaços em \mathbb{R}^3, que se resolve impondo simultaneamente as equações que os definem e parametrizando a solução.

Passo 2

Escrevemos o sistema de equações que qualquer vetor em W_{1}\cap W_{2} deve satisfazer:
\begin{cases} x-2y=0,\\\ x+z=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação obtemos
x = 2y.
Substituindo na segunda:
2y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -2y.

Passo 4

Definindo o parâmetro t=y, qualquer vetor em W_{1}\cap W_{2} tem a forma
(x,y,z) = (2t,\,t,\,-2t) = t\,(2,1,-2).
Logo, a interseção é uma reta gerada por (2,1,-2).

Resposta

\{(2,1,-2)\}

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