Considere, em \mathbb{R}^{3} os seguintes subespaços vetoriais:
W_{1}=\{(x, y, z): x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z): x+z=0 e x-2 y=0\},
W_{3}=\{(x, y, z): x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)].
Encontre um conjunto de geradores de:
W_{3}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para
W_{3} = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid x + 2y - 3z = 0\}.
O conteúdo aqui é solução de uma equação linear homogênea em três variáveis; vamos parametrizar os vetores de W_{3} em função de dois parâmetros livres.

Passo 2

Da condição
x + 2y - 3z = 0
podemos isolar x em função de y e z:
x = -2y + 3z.

Passo 3

Seja y = s e z = t, com s,t\in\mathbb{R}. Então um vetor genérico de W_{3} é
(x,y,z) = (-2s+3t,\;s,\;t) = s\,(-2,1,0) \;+\; t\,(3,0,1).

Passo 4

Logo todo vetor de W_{3} é combinação linear de (-2,1,0) e (3,0,1). Esses dois vetores são independentemente lineares e geram W_{3}.

Resposta

Um conjunto de geradores de W_{3} é
\{\,(-2,1,0),\,(3,0,1)\}.

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