Considere \mathbb{Z} como subgrupo de (\mathbb{R},+). Determine as classes laterais -3+\mathbb{Z}, \frac{2}{5}+\mathbb{Z} e \sqrt{2}+\mathbb{Z}. Dado x \in \mathbb{R}, temos que
O enunciado pede para determinar explicitamente as classes laterais (cosets) -3+\mathbb{Z}, \frac{2}{5}+\mathbb{Z} e \sqrt{2}+\mathbb{Z}, sabendo que, para x\in\mathbb{R},
x+\mathbb{Z}=\{x+k \mid k\in\mathbb{Z}\}.
Informações relevantes fornecidas:
O subgrupo é \mathbb{Z}\subset(\mathbb{R},+).
Cada classe lateral tem a forma x+\mathbb{Z} com x sendo um representante: x=-3,\;x=\tfrac{2}{5},\;x=\sqrt{2}.
A tarefa é descrever cada conjunto explicitamente (ou listar um padrão de seus elementos).
Passo 2
Entender bem a definição e uma propriedade útil. Definição: para x\in\mathbb{R},
x+\mathbb{Z}=\{x+k \mid k\in\mathbb{Z}\}.
Propriedade fundamental (que vamos usar): dadas x,y\in\mathbb{R},
Explicação desta propriedade (passo a passo): se x-y=n\in\mathbb{Z}, então para todo k\in\mathbb{Z} tem-se x+k=y+(k+n) e k+n\in\mathbb{Z}, logo x+\mathbb{Z}\subseteq y+\mathbb{Z}; trocando os papéis obtemos a outra inclusão, daí igualdade. A recíproca é imediata: se as classes são iguais, então x\in y+\mathbb{Z} e portanto x-y\in\mathbb{Z}.
Também é útil a interpretação via parte fracionária: cada classe x+\mathbb{Z} reúne todos os números reais que têm a mesma parte fracionária que x. A parte fracionária pode ser definida por
\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1),
e x+\mathbb{Z} é precisamente o conjunto de todos y com \{y\}=\{x\}.
Passo 3
Determinar -3+\mathbb{Z}. Observe que -3\in\mathbb{Z}. Aplicando a propriedade do passo anterior com y=0 (pois 0+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}) temos
Comentário didático: quando o representante x já é um inteiro, a coset x+\mathbb{Z} coincide com o próprio subgrupo \mathbb{Z}, porque somar um inteiro a todos os inteiros só permuta os elementos de \mathbb{Z}.
Passo 4
Determinar \tfrac{2}{5}+\mathbb{Z}. Use a definição:
Exemplos (lista de elementos vizinhos): \ldots,\,-\tfrac{13}{5},\,-\tfrac{8}{5},\,-\tfrac{3}{5},\\ \tfrac{2}{5},\\ \tfrac{7}{5},\\ \tfrac{12}{5},\ldots.
Explicação extra: todos esses números têm parte fracionária igual a \tfrac{2}{5}. Em particular \tfrac{2}{5}+\mathbb{Z}\neq\mathbb{Z} porque \tfrac{2}{5}-0\notin\mathbb{Z}.
A parte fracionária de \sqrt{2} é \{\sqrt{2}\}=\sqrt{2}-1\approx0,41421356\ldots, que é irracional. Assim todos os elementos da classe têm a mesma parte fracionária irracional e, portanto, nenhum elemento dessa classe é inteiro; logo \sqrt{2}+\mathbb{Z}\neq\mathbb{Z}.
Pelo critério do passo 2, \sqrt{2}+\mathbb{Z} é diferente de \tfrac{2}{5}+\mathbb{Z} porque \sqrt{2}-\tfrac{2}{5}\notin\mathbb{Z}.
Intuitivamente, as classes laterais \{x+\mathbb{Z}:x\in\mathbb{R}\} particionam \mathbb{R} segundo a parte fracionária; cada classe tem exatamente um representante em [0,1), aqui os representantes são 0 (para \mathbb{Z}), \tfrac{2}{5} e \{\sqrt{2}\} respectivamente.