Considere \mathbb{Z} como subgrupo de (\mathbb{R},+). Determine as classes laterais -3+\mathbb{Z}, \frac{2}{5}+\mathbb{Z} e \sqrt{2}+\mathbb{Z}. Dado x \in \mathbb{R}, temos que
x+\mathbb{Z}=\{x+k \mid k \in \mathbb{Z}\}
Assim,
\begin{aligned} -3+\mathbb{Z} & =\{-3+k \mid k \in \mathbb{Z}\}=\mathbb{Z} \\\ \frac{2}{5}+\mathbb{Z} & =\left\{\left.\frac{2}{5}+k \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}=\left\{\left.\frac{2+5 k}{5} \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\} \\\ & =\left\{\cdots,-\frac{13}{5},-\frac{8}{5},-\frac{3}{5}, \frac{2}{5}, \frac{7}{5}, \frac{12}{5}, \cdots\right\} \\\ \sqrt{2}+\mathbb{Z} & =\{\sqrt{2}+k \mid k \in \mathbb{Z}\} \\\ & =\{\cdots, \sqrt{2}-3, \sqrt{2}-2, \sqrt{2}-1, \sqrt{2}, \sqrt{2}+1, \sqrt{2}+2, \sqrt{2}+3, \cdots\} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para determinar explicitamente as classes laterais (cosets) -3+\mathbb{Z}, \frac{2}{5}+\mathbb{Z} e \sqrt{2}+\mathbb{Z}, sabendo que, para x\in\mathbb{R},
x+\mathbb{Z}=\{x+k \mid k\in\mathbb{Z}\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O subgrupo é \mathbb{Z}\subset(\mathbb{R},+).
  • Cada classe lateral tem a forma x+\mathbb{Z} com x sendo um representante: x=-3,\;x=\tfrac{2}{5},\;x=\sqrt{2}.
  • A tarefa é descrever cada conjunto explicitamente (ou listar um padrão de seus elementos).

Passo 2

Entender bem a definição e uma propriedade útil. Definição: para x\in\mathbb{R},
x+\mathbb{Z}=\{x+k \mid k\in\mathbb{Z}\}.
Propriedade fundamental (que vamos usar): dadas x,y\in\mathbb{R},
x+\mathbb{Z}=y+\mathbb{Z}\quad\Longleftrightarrow\quad x-y\in\mathbb{Z}.
Explicação desta propriedade (passo a passo): se x-y=n\in\mathbb{Z}, então para todo k\in\mathbb{Z} tem-se x+k=y+(k+n) e k+n\in\mathbb{Z}, logo x+\mathbb{Z}\subseteq y+\mathbb{Z}; trocando os papéis obtemos a outra inclusão, daí igualdade. A recíproca é imediata: se as classes são iguais, então x\in y+\mathbb{Z} e portanto x-y\in\mathbb{Z}.
Também é útil a interpretação via parte fracionária: cada classe x+\mathbb{Z} reúne todos os números reais que têm a mesma parte fracionária que x. A parte fracionária pode ser definida por
\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1),
e x+\mathbb{Z} é precisamente o conjunto de todos y com \{y\}=\{x\}.

Passo 3

Determinar -3+\mathbb{Z}. Observe que -3\in\mathbb{Z}. Aplicando a propriedade do passo anterior com y=0 (pois 0+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}) temos
-3-0=-3\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad -3+\mathbb{Z}=0+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}.
Comentário didático: quando o representante x já é um inteiro, a coset x+\mathbb{Z} coincide com o próprio subgrupo \mathbb{Z}, porque somar um inteiro a todos os inteiros só permuta os elementos de \mathbb{Z}.

Passo 4

Determinar \tfrac{2}{5}+\mathbb{Z}. Use a definição:
\frac{2}{5}+\mathbb{Z}=\left\{\frac{2}{5}+k\mid k\in\mathbb{Z}\right\}.
Podemos reescrever cada elemento com denominador 5:
\frac{2}{5}+k=\frac{2+5k}{5},\qquad k\in\mathbb{Z},
logo
\frac{2}{5}+\mathbb{Z}=\left\{\left.\frac{2+5k}{5}\\ \right|\\ k\in\mathbb{Z}\right\}.
Exemplos (lista de elementos vizinhos): \ldots,\,-\tfrac{13}{5},\,-\tfrac{8}{5},\,-\tfrac{3}{5},\\ \tfrac{2}{5},\\ \tfrac{7}{5},\\ \tfrac{12}{5},\ldots.
Explicação extra: todos esses números têm parte fracionária igual a \tfrac{2}{5}. Em particular \tfrac{2}{5}+\mathbb{Z}\neq\mathbb{Z} porque \tfrac{2}{5}-0\notin\mathbb{Z}.

Passo 5

Determinar \sqrt{2}+\mathbb{Z}. Pela definição,
\sqrt{2}+\mathbb{Z}=\{\sqrt{2}+k\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Lista de elementos vizinhos:
\ldots,\\ \sqrt{2}-2,\\ \sqrt{2}-1,\\ \sqrt{2},\\ \sqrt{2}+1,\\ \sqrt{2}+2,\ldots
Observações didáticas importantes:
  • A parte fracionária de \sqrt{2} é \{\sqrt{2}\}=\sqrt{2}-1\approx0,41421356\ldots, que é irracional. Assim todos os elementos da classe têm a mesma parte fracionária irracional e, portanto, nenhum elemento dessa classe é inteiro; logo \sqrt{2}+\mathbb{Z}\neq\mathbb{Z}.
  • Pelo critério do passo 2, \sqrt{2}+\mathbb{Z} é diferente de \tfrac{2}{5}+\mathbb{Z} porque \sqrt{2}-\tfrac{2}{5}\notin\mathbb{Z}.
  • Intuitivamente, as classes laterais \{x+\mathbb{Z}:x\in\mathbb{R}\} particionam \mathbb{R} segundo a parte fracionária; cada classe tem exatamente um representante em [0,1), aqui os representantes são 0 (para \mathbb{Z}), \tfrac{2}{5} e \{\sqrt{2}\} respectivamente.

Resposta

-3+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}
\dfrac{2}{5}+\mathbb{Z}=\left\{\left.\dfrac{2+5k}{5}\\ \right|\\ k\in\mathbb{Z}\right\}=\{\ldots,-\tfrac{13}{5},-\tfrac{8}{5},-\tfrac{3}{5},\tfrac{2}{5},\tfrac{7}{5},\tfrac{12}{5},\ldots\}
\sqrt{2}+\mathbb{Z}=\{\sqrt{2}+k\mid k\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,\sqrt{2}-2,\sqrt{2}-1,\sqrt{2},\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+2,\ldots\}

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