Considere \mathbf{A}=2 x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}-z^{2} \mathbf{a}_{z} e \mathbf{B}=3 x^{2} \mathbf{a}_{x}+6 \mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z}. No ponto (1,2,-4):
a) Calcule A.B e AxB;
b) Determine o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B};
c) Encontre a projeção de \mathbf{A} sobre \mathbf{B}.

Passo 1

O enunciado fornece as duas campos vetoriais e o ponto onde devemos avaliá‑los:
  • \mathbf{A}=2x\,\mathbf{a}_{x}+y\,\mathbf{a}_{y}-z^{2}\,\mathbf{a}_{z}.
  • \mathbf{B}=3x^{2}\,\mathbf{a}_{x}+6\,\mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z}.
  • Ponto: (x,y,z)=(1,2,-4).
As perguntas são:
(a) Calcular \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} e \mathbf{A}\times\mathbf{B} no ponto dado.
(b) Determinar o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B} nesse ponto.
(c) Encontrar a projeção de \mathbf{A} sobre \mathbf{B} (projeção vetorial; e, quando útil, a componente escalar).

Passo 2

Primeiro, avaliar \mathbf{A} e \mathbf{B} no ponto (1,2,-4) substituindo x=1, y=2, z=-4.
  • Para \mathbf{A}: \mathbf{A}=2x\,\mathbf{a}_{x}+y\,\mathbf{a}_{y}-z^{2}\,\mathbf{a}_{z}Substituindo: \mathbf{A}=2\cdot1\,\mathbf{a}_{x}+2\,\mathbf{a}_{y}-(-4)^{2}\,\mathbf{a}_{z}
\mathbf{A}=2\,\mathbf{a}_{x}+2\,\mathbf{a}_{y}-16\,\mathbf{a}_{z}.
Ou seja, em coordenadas: \mathbf{A}=(2,\,2,\,-16).
  • Para \mathbf{B}: \mathbf{B}=3x^{2}\,\mathbf{a}_{x}+6\,\mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z}Substituindo: \mathbf{B}=3\cdot1^{2}\,\mathbf{a}_{x}+6\,\mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z}
\mathbf{B}=3\,\mathbf{a}_{x}+6\,\mathbf{a}_{y}+1\,\mathbf{a}_{z}.
Ou seja, \mathbf{B}=(3,\,6,\,1).

Passo 3

(a) Produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}.
  • Definição: para vetores em \mathbb{R}^{3}, \mathbf{U}=(U_x,U_y,U_z) e \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z),
    \mathbf{U}\cdot\mathbf{V}=U_xV_x+U_yV_y+U_zV_z.
    Aqui U_x é a componente x de \mathbf{U}, etc.
  • Aplicando a \mathbf{A}=(2,2,-16) e \mathbf{B}=(3,6,1):
    \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=2\cdot3+2\cdot6+(-16)\cdot1.
    Calcule passo a passo:
    2\cdot3=6,\qquad 2\cdot6=12,\qquad (-16)\cdot1=-16.
    Somando:
    \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=6+12-16=2.

Passo 4

(a) Produto vetorial \mathbf{A}\times\mathbf{B}.
  • Definição e método: para \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z), o vetor \mathbf{A}\times\mathbf{B} tem componentes dadas pelo determinante (regra de Sarrus):
    \mathbf{A}\times\mathbf{B}= \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{x} & \mathbf{a}_{y} & \mathbf{a}_{z} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
    Em coordenadas:
    \mathbf{A}\times\mathbf{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\,\mathbf{a}_{x}+(A_zB_x-A_xB_z)\,\mathbf{a}_{y}+(A_xB_y-A_yB_x)\,\mathbf{a}_{z}.
  • Substituindo A_x=2, A_y=2, A_z=-16; B_x=3, B_y=6, B_z=1:
    • Componente em \mathbf{a}_{x}: A_yB_z-A_zB_y = 2\cdot1-(-16)\cdot6 = 2+96 = 98.
    • Componente em \mathbf{a}_{y}: A_zB_x-A_xB_z = (-16)\cdot3-2\cdot1 = -48-2 = -50.
    • Componente em \mathbf{a}_{z}: A_xB_y-A_yB_x = 2\cdot6-2\cdot3 = 12-6 = 6.
    Logo
    \mathbf{A}\times\mathbf{B}=98\,\mathbf{a}_{x}-50\,\mathbf{a}_{y}+6\,\mathbf{a}_{z}.

Passo 5

(b) Cálculo do ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B}.
  • Fórmula: o produto escalar também relaciona ângulo \theta entre vetores:
    \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|\cos\theta,
    onde |\mathbf{A}|=\sqrt{A_x^{2}+A_y^{2}+A_z^{2}} é o módulo (norma) de \mathbf{A}.
  • Calcular normas:
    |\mathbf{A}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-16)^{2}}=\sqrt{4+4+256}=\sqrt{264}=2\sqrt{66}.
|\mathbf{B}|=\sqrt{3^{2}+6^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+36+1}=\sqrt{46}.
  • Isolar \cos\theta:
    \cos\theta=\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|}=\frac{2}{(2\sqrt{66})\sqrt{46}}=\frac{1}{\sqrt{3036}}.
    Observação: 3036=66\cdot46.
  • Valor numérico aproximado:
    \cos\theta\approx\frac{1}{55,100\ldots}\approx0,018145\ldots
    Portanto
    \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3036}}\right)\approx1,5527\\ \text{rad}\approx88,993^\circ.
    (Arredondando: \theta\approx1,5527\\ \text{rad} ou \theta\approx88,99^\circ.)

Passo 6

(c) Projeção de \mathbf{A} sobre \mathbf{B}.
  • Primeiro, componente escalar (comp), que é a “sombra” de \mathbf{A} sobre a direção de \mathbf{B}:
    \text{comp}_{\mathbf{B}}(\mathbf{A})=\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}=\frac{2}{\sqrt{46}}\approx0,2949.
  • A projeção vetorial (vetor projeção) de \mathbf{A} sobre \mathbf{B} é
    \text{proj}_{\mathbf{B}}(\mathbf{A})=\frac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|^{2}}\,\mathbf{B}.
    Aqui |\mathbf{B}|^{2}=46 e \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=2, então
    \text{proj}_{\mathbf{B}}(\mathbf{A})=\frac{2}{46}\,\mathbf{B}=\frac{1}{23}\,\mathbf{B}.
    Substituindo \mathbf{B}=3\,\mathbf{a}_{x}+6\,\mathbf{a}_{y}+1\,\mathbf{a}_{z}:
    \text{proj}_{\mathbf{B}}(\mathbf{A})=\frac{3}{23}\,\mathbf{a}_{x}+\frac{6}{23}\,\mathbf{a}_{y}+\frac{1}{23}\,\mathbf{a}_{z}.
    Em forma decimal aproximadamente:
    \text{proj}_{\mathbf{B}}(\mathbf{A})\approx(0,1304,\,0,2609,\,0,0435).

Resposta

(a) \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=2, \mathbf{A}\times\mathbf{B}=98\,\mathbf{a}_{x}-50\,\mathbf{a}_{y}+6\,\mathbf{a}_{z}
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3036}}\right)\approx1,5527\\ \text{rad}\approx88,99^\circ
(c) \displaystyle \text{proj}_{\mathbf{B}}(\mathbf{A})=\frac{3}{23}\,\mathbf{a}_{x}+\frac{6}{23}\,\mathbf{a}_{y}+\frac{1}{23}\,\mathbf{a}_{z} (componente escalar \dfrac{2}{\sqrt{46}}\approx0,2949).

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