Considere \mathbf{A}=2 x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}-z^{2} \mathbf{a}_{z} e \mathbf{B}=3 x^{2} \mathbf{a}_{x}+6 \mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z}. No ponto (1,2,-4):
a) Calcule A.B e AxB;
b) Determine o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B};
c) Encontre a projeção de \mathbf{A} sobre \mathbf{B}.
Passo 1
O enunciado fornece as duas campos vetoriais e o ponto onde devemos avaliá‑los:
As perguntas são:
(a) Calcular \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} e \mathbf{A}\times\mathbf{B} no ponto dado.
(b) Determinar o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B} nesse ponto.
(c) Encontrar a projeção de \mathbf{A} sobre \mathbf{B} (projeção vetorial; e, quando útil, a componente escalar).
Passo 2
Primeiro, avaliar \mathbf{A} e \mathbf{B} no ponto (1,2,-4) substituindo x=1, y=2, z=-4.
Para \mathbf{A}:\mathbf{A}=2x\,\mathbf{a}_{x}+y\,\mathbf{a}_{y}-z^{2}\,\mathbf{a}_{z}Substituindo:\mathbf{A}=2\cdot1\,\mathbf{a}_{x}+2\,\mathbf{a}_{y}-(-4)^{2}\,\mathbf{a}_{z}
Ou seja, em coordenadas: \mathbf{A}=(2,\,2,\,-16).
Para \mathbf{B}:\mathbf{B}=3x^{2}\,\mathbf{a}_{x}+6\,\mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z}Substituindo:\mathbf{B}=3\cdot1^{2}\,\mathbf{a}_{x}+6\,\mathbf{a}_{y}+\mathbf{a}_{z}
Definição e método: para \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z), o vetor \mathbf{A}\times\mathbf{B} tem componentes dadas pelo determinante (regra de Sarrus):