Dados os vetores \mathbf{a}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}-\mathbf{k}, \mathbf{b}=\mathbf{2 i}+-3 \mathbf{k} e \mathbf{c}=3 i-\mathbf{j}+2 \mathbf{k}, determinar:
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) . \mathbf{c}

Passo 1

O enunciado pede calcular (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}. As informações dadas (peguei as componentes dos vetores do enunciado) são:
\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{a}=(1,2,-1),
\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{b}=(2,0,-3),
\mathbf{c} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{c}=(3,-1,2).
A pergunta explícita é: calcular o produto escalar entre o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} e o vetor \mathbf{c}, ou seja (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (aula rápida): o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} é um vetor perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b} cuja coordenadas podem ser obtidas pelo determinante com as componentes. Em componentes, se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
O produto escalar entre dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Portanto a maneira direta é: primeiro calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} por componentes, depois fazer o produto escalar com \mathbf{c}. (Observação: existe também a forma direta usando o determinante \det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}], que é igual a (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}; vou mostrar essa verificação depois.)

Passo 3

Calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} usando a fórmula por componentes. Substituindo a_1=1,a_2=2,a_3=-1 e b_1=2,b_2=0,b_3=-3:
\begin{aligned} (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2 = 2\cdot(-3) - (-1)\cdot 0 = -6 - 0 = -6,\\[4pt] (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-1)\cdot 2 - 1\cdot(-3) = -2 -(-3) = 1,\\[4pt] (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot 0 - 2\cdot 2 = 0 - 4 = -4. \end{aligned}
Logo
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -6\,\mathbf{i} + 1\,\mathbf{j} -4\,\mathbf{k} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{a}\times\mathbf{b}=(-6,1,-4).]

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar com \mathbf{c}=(3,-1,2):
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} = (-6)\cdot 3 + 1\cdot(-1) + (-4)\cdot 2.
Calculando cada termo:
-6\cdot 3 = -18,\qquad 1\cdot(-1) = -1,\qquad -4\cdot 2 = -8.
Somando:
-18 + (-1) + (-8) = -18 -1 -8 = -27.

Passo 5

Verificação alternativa (atalho útil na prova): o mesmo resultado pode ser obtido calculando o determinante da matriz formada pelas componentes de \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} como linhas (ou colunas):
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[2pt] 2 & 0 & -3\\[2pt] 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Expandindo por co-fatores (uma maneira rápida):
\begin{aligned} \det &= 1\cdot(0\cdot 2 - (-3)\cdot(-1)) - 2\cdot(2\cdot 2 - (-3)\cdot 3) + (-1)\cdot(2\cdot(-1)-0\cdot 3)\\[4pt] &= 1\cdot(0-3) - 2\cdot(4+9) + (-1)\cdot(-2-0)\\[4pt] &= -3 - 2\cdot 13 + 2 = -3 -26 +2 = -27, \end{aligned}
confirmando o resultado obtido.]

Resposta

-27

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