Dados os vetores \mathbf{a}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}-\mathbf{k}, \mathbf{b}=\mathbf{2 i}+-3 \mathbf{k} e \mathbf{c}=3 i-\mathbf{j}+2 \mathbf{k}, determinar:
(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c};

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores e pede o produto vetorial duplo (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}.
Peguei as componentes dos vetores do enunciado:
\mathbf{a}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{a}=(1,2,-1),
\mathbf{b}=2\mathbf{i}-3\mathbf{k}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{b}=(2,0,-3),
\mathbf{c}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{c}=(3,-1,2).
O que é pedido: calcular (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}.

Passo 2

Opções de método (breve explicação das escolhas):
  • Método direto: calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} por determinante e depois cruzar o resultado com \mathbf{c}. É direto e elementar.
  • Método usando identidade vetorial (produto vetorial duplo): usar a identidade (\mathbf{x}\times\mathbf{y})\times\mathbf{z}=\mathbf{y}(\mathbf{x}\cdot\mathbf{z})-\mathbf{x}(\mathbf{y}\cdot\mathbf{z}). Isso reduz o problema a produtos escalares e multiplicações escalares, geralmente mais rápido.
Vou usar a identidade vetorial porque é eficiente e faz a conta com aritmética simples (apenas produtos escalares e multiplicações por escalares). Em seguida verifico rapidamente por cálculo direto para ficar seguro.

Passo 3

Apresentando e explicando a identidade vetorial que vou usar:
A identidade do produto vetorial duplo é:
(\mathbf{x}\times\mathbf{y})\times\mathbf{z}=\mathbf{y}(\mathbf{x}\cdot\mathbf{z})-\mathbf{x}(\mathbf{y}\cdot\mathbf{z}).
Explicação dos termos:
  • \mathbf{x}\times\mathbf{y} é o produto vetorial (resultado é um vetor perpendicular a \mathbf{x} e \mathbf{y}); pode ser calculado por determinante.
  • \mathbf{x}\cdot\mathbf{z} é o produto interno (escalar) entre \mathbf{x} e \mathbf{z}: \mathbf{x}\cdot\mathbf{z}=x_1z_1+x_2z_2+x_3z_3.
  • \mathbf{y}(\mathbf{x}\cdot\mathbf{z}) significa multiplicar cada componente de \mathbf{y} pelo escalar \mathbf{x}\cdot\mathbf{z}.
Aplicando a identidade com \mathbf{x}=\mathbf{a}, \mathbf{y}=\mathbf{b}, \mathbf{z}=\mathbf{c} teremos:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}).

Passo 4

Calcular os produtos escalares que aparecem na identidade.
Primeiro \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=1\cdot 3 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 = 3 -2 -2 = -1.
Agora \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}:
\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=2\cdot 3 + 0\cdot(-1) + (-3)\cdot 2 = 6 + 0 -6 = 0.

Passo 5

Substituir os escalares obtidos na identidade:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) =\mathbf{b}\cdot(-1)-\mathbf{a}\cdot 0 = -\mathbf{b}.
Como \mathbf{b}=(2,0,-3), obtemos:
-\mathbf{b}=(-2,0,3)= -2\mathbf{i}+0\mathbf{j}+3\mathbf{k}.

Passo 6

Verificação rápida calculando diretamente (confirmação didática):
Calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} por determinante:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 0 & -3 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(2\cdot(-3)-(-1)\cdot 0)-\mathbf{j}(1\cdot(-3)-(-1)\cdot 2)+\mathbf{k}(1\cdot 0-2\cdot 2).
Fazendo as contas:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{i}(-6)-\mathbf{j}(-3+2)+\mathbf{k}(-4)=-6\mathbf{i}+1\mathbf{j}-4\mathbf{k}.
Agora (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}:
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -6 & 1 & -4 \\\\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(1\cdot 2-(-4)\cdot(-1))-\mathbf{j}(-6\cdot 2-(-4)\cdot 3)+\mathbf{k}(-6\cdot(-1)-1\cdot 3).
Calculando termos:
\mathbf{i}(2-4)-\mathbf{j}(-12-(-12))+\mathbf{k}(6-3)=-2\mathbf{i}-\mathbf{j}\cdot 0+3\mathbf{k}=-2\mathbf{i}+0\mathbf{j}+3\mathbf{k},
que confirma o resultado obtido via identidade.

Resposta

-2\mathbf{i}+0\mathbf{j}+3\mathbf{k}

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